Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24544 / 57440
↖ ↑ ↗
← S 79.269962°
W 45.175781°		 ← 113.72 m → S 79.269962°
W 45.170288°		 →
↑
113.72 m
↓
↑
113.72 m
↓
S 79.270984°
W 45.175781°		 ← 113.71 m →
12 932 m²		 S 79.270984°
W 45.170288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374519348144531 y=0.876472473144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374519348144531 × 216)
    floor (0.374519348144531 × 65536)
    floor (24544.5)     		tx = 24544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876472473144531 × 216)
    floor (0.876472473144531 × 65536)
    floor (57440.5)     		ty = 57440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24544 / 57440 ti = "16/24544/57440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24544/57440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24544 ÷ 216
    24544 ÷ 65536     		x = 0.37451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57440 ÷ 216
    57440 ÷ 65536     		y = 0.87646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87646484375 × 2 - 1) × π
    -0.7529296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36539837485205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78846612} λ = -0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36539837485205))-π/2
    2×atan(0.0939118807838503)-π/2
    2×0.0936372491425956-π/2
    0.187274498285191-1.57079632675     		φ = -1.38352183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38352183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.269962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24544 KachelY 57440 -0.78846612 -1.38352183 -45.175781 -79.269962
    Oben rechts KachelX + 1 24545 KachelY 57440 -0.78837025 -1.38352183 -45.170288 -79.269962
    Unten links KachelX 24544 KachelY + 1 57441 -0.78846612 -1.38353968 -45.175781 -79.270984
    Unten rechts KachelX + 1 24545 KachelY + 1 57441 -0.78837025 -1.38353968 -45.170288 -79.270984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38352183--1.38353968) × R
    1.78499999998749e-05 × 6371000     		dl = 113.722349999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38352183--1.38353968) × R
    1.78499999998749e-05 × 6371000     		dr = 113.722349999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78846612--0.78837025) × cos(-1.38352183) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186181741143653 × 6371000     		do = 113.717530487846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78846612--0.78837025) × cos(-1.38353968) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186164203215484 × 6371000     		du = 113.70681853581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38352183)-sin(-1.38353968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186181741143653-0.186164203215484)×R²
    abs(-0.78837025--0.78846612)×1.75379281693033e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75379281693033e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75379281693033e-05×40589641000000     		ar = 12931.6157093558m²