Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24544 / 8224
↖ ↑ ↗
← N 66.372755°
E 89.648437°		 ← 489.61 m → N 66.372755°
E 89.659424°		 →
↑
489.68 m
↓
↑
489.68 m
↓
N 66.368351°
E 89.648437°		 ← 489.70 m →
239 773 m²		 N 66.368351°
E 89.659424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749038696289062 y=0.250991821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749038696289062 × 215)
    floor (0.749038696289062 × 32768)
    floor (24544.5)     		tx = 24544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250991821289062 × 215)
    floor (0.250991821289062 × 32768)
    floor (8224.5)     		ty = 8224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24544 / 8224 ti = "15/24544/8224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24544/8224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24544 ÷ 215
    24544 ÷ 32768     		x = 0.7490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8224 ÷ 215
    8224 ÷ 32768     		y = 0.2509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    0.498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56466040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2509765625 × 2 - 1) × π
    0.498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.56466040359863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56466040} λ = 1.56466040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56466040359863))-π/2
    2×atan(4.78105103244962)-π/2
    2×1.36460971759485-π/2
    2.72921943518969-1.57079632675     		φ = 1.15842311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56466040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15842311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.372755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24544 KachelY 8224 1.56466040 1.15842311 89.648437 66.372755
    Oben rechts KachelX + 1 24545 KachelY 8224 1.56485215 1.15842311 89.659424 66.372755
    Unten links KachelX 24544 KachelY + 1 8225 1.56466040 1.15834625 89.648437 66.368351
    Unten rechts KachelX + 1 24545 KachelY + 1 8225 1.56485215 1.15834625 89.659424 66.368351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15842311-1.15834625) × R
    7.68600000000674e-05 × 6371000     		dl = 489.67506000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15842311-1.15834625) × R
    7.68600000000674e-05 × 6371000     		dr = 489.67506000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56466040-1.56485215) × cos(1.15842311) × R
    0.000191750000000157 × 0.400784729966169 × 6371000     		do = 489.614356927724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56466040-1.56485215) × cos(1.15834625) × R
    0.000191750000000157 × 0.400855145781784 × 6371000     		du = 489.7003796519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15842311)-sin(1.15834625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400784729966169-0.400855145781784)×R²
    abs(1.56485215-1.56466040)×7.04158156147883e-05×R²
    0.000191750000000157×7.04158156147883e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.04158156147883e-05×40589641000000     		ar = 239773.001315314m²