Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24560 / 24560
↖ ↑ ↗
← S 66.443106°
E 89.824219°		 ← 488.21 m → S 66.443106°
E 89.835205°		 →
↑
488.21 m
↓
↑
488.21 m
↓
S 66.447497°
E 89.824219°		 ← 488.13 m →
238 330 m²		 S 66.447497°
E 89.835205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749526977539062 y=0.749526977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749526977539062 × 215)
    floor (0.749526977539062 × 32768)
    floor (24560.5)     		tx = 24560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749526977539062 × 215)
    floor (0.749526977539062 × 32768)
    floor (24560.5)     		ty = 24560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24560 / 24560 ti = "15/24560/24560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24560/24560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24560 ÷ 215
    24560 ÷ 32768     		x = 0.74951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24560 ÷ 215
    24560 ÷ 32768     		y = 0.74951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74951171875 × 2 - 1) × π
    0.4990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56772837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74951171875 × 2 - 1) × π
    -0.4990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56772836517432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56772837} λ = 1.56772837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56772836517432))-π/2
    2×atan(0.208518322235628)-π/2
    2×0.205572676496029-π/2
    0.411145352992059-1.57079632675     		φ = -1.15965097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56772837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15965097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.443106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24560 KachelY 24560 1.56772837 -1.15965097 89.824219 -66.443106
    Oben rechts KachelX + 1 24561 KachelY 24560 1.56792011 -1.15965097 89.835205 -66.443106
    Unten links KachelX 24560 KachelY + 1 24561 1.56772837 -1.15972760 89.824219 -66.447497
    Unten rechts KachelX + 1 24561 KachelY + 1 24561 1.56792011 -1.15972760 89.835205 -66.447497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15965097--1.15972760) × R
    7.6630000000133e-05 × 6371000     		dl = 488.209730000847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15965097--1.15972760) × R
    7.6630000000133e-05 × 6371000     		dr = 488.209730000847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56772837-1.56792011) × cos(-1.15965097) × R
    0.000191739999999996 × 0.399659496864673 × 6371000     		do = 488.21426569858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56772837-1.56792011) × cos(-1.15972760) × R
    0.000191739999999996 × 0.399589251754166 × 6371000     		du = 488.128455989781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15965097)-sin(-1.15972760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399659496864673-0.399589251754166)×R²
    abs(1.56792011-1.56772837)×7.02451105066282e-05×R²
    0.000191739999999996×7.02451105066282e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.02451105066282e-05×40589641000000     		ar = 238330.008388519m²