Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24560 / 41008
↖ ↑ ↗
← S 41.178654°
W 45.087890°		 ← 459.72 m → S 41.178654°
W 45.082397°		 →
↑
459.73 m
↓
↑
459.73 m
↓
S 41.182788°
W 45.087890°		 ← 459.69 m →
211 339 m²		 S 41.182788°
W 45.082397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374763488769531 y=0.625740051269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374763488769531 × 216)
    floor (0.374763488769531 × 65536)
    floor (24560.5)     		tx = 24560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625740051269531 × 216)
    floor (0.625740051269531 × 65536)
    floor (41008.5)     		ty = 41008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24560 / 41008 ti = "16/24560/41008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24560/41008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24560 ÷ 216
    24560 ÷ 65536     		x = 0.374755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41008 ÷ 216
    41008 ÷ 65536     		y = 0.625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374755859375 × 2 - 1) × π
    -0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.25146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.790000105738525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78693214} λ = -0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790000105738525))-π/2
    2×atan(0.453844747293479)-π/2
    2×0.426046616727631-π/2
    0.852093233455262-1.57079632675     		φ = -0.71870309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71870309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.178654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24560 KachelY 41008 -0.78693214 -0.71870309 -45.087890 -41.178654
    Oben rechts KachelX + 1 24561 KachelY 41008 -0.78683627 -0.71870309 -45.082397 -41.178654
    Unten links KachelX 24560 KachelY + 1 41009 -0.78693214 -0.71877525 -45.087890 -41.182788
    Unten rechts KachelX + 1 24561 KachelY + 1 41009 -0.78683627 -0.71877525 -45.082397 -41.182788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71870309--0.71877525) × R
    7.21599999999878e-05 × 6371000     		dl = 459.731359999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71870309--0.71877525) × R
    7.21599999999878e-05 × 6371000     		dr = 459.731359999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78693214--0.78683627) × cos(-0.71870309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.752660259216756 × 6371000     		do = 459.715681294615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78693214--0.78683627) × cos(-0.71877525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.752612746457046 × 6371000     		du = 459.686661082065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71870309)-sin(-0.71877525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752660259216756-0.752612746457046)×R²
    abs(-0.78683627--0.78693214)×4.75127597100444e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75127597100444e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75127597100444e-05×40589641000000     		ar = 211339.044715806m²