Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24560 / 8176
↖ ↑ ↗
← N 66.583217°
E 89.824219°		 ← 485.47 m → N 66.583217°
E 89.835205°		 →
↑
485.53 m
↓
↑
485.53 m
↓
N 66.578851°
E 89.824219°		 ← 485.56 m →
235 735 m²		 N 66.578851°
E 89.835205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749526977539062 y=0.249526977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749526977539062 × 215)
    floor (0.749526977539062 × 32768)
    floor (24560.5)     		tx = 24560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249526977539062 × 215)
    floor (0.249526977539062 × 32768)
    floor (8176.5)     		ty = 8176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24560 / 8176 ti = "15/24560/8176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24560/8176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24560 ÷ 215
    24560 ÷ 32768     		x = 0.74951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8176 ÷ 215
    8176 ÷ 32768     		y = 0.24951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74951171875 × 2 - 1) × π
    0.4990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56772837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24951171875 × 2 - 1) × π
    0.5009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57386428832568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56772837} λ = 1.56772837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57386428832568))-π/2
    2×atan(4.82525840272422)-π/2
    2×1.36644634724365-π/2
    2.73289269448729-1.57079632675     		φ = 1.16209637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56772837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16209637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.583217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24560 KachelY 8176 1.56772837 1.16209637 89.824219 66.583217
    Oben rechts KachelX + 1 24561 KachelY 8176 1.56792011 1.16209637 89.835205 66.583217
    Unten links KachelX 24560 KachelY + 1 8177 1.56772837 1.16202016 89.824219 66.578851
    Unten rechts KachelX + 1 24561 KachelY + 1 8177 1.56792011 1.16202016 89.835205 66.578851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16209637-1.16202016) × R
    7.6210000000021e-05 × 6371000     		dl = 485.533910000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16209637-1.16202016) × R
    7.6210000000021e-05 × 6371000     		dr = 485.533910000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56772837-1.56792011) × cos(1.16209637) × R
    0.000191739999999996 × 0.39741669477909 × 6371000     		do = 485.474513529772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56772837-1.56792011) × cos(1.16202016) × R
    0.000191739999999996 × 0.397486626836498 × 6371000     		du = 485.559940820563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16209637)-sin(1.16202016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39741669477909-0.397486626836498)×R²
    abs(1.56792011-1.56772837)×6.99320574074069e-05×R²
    0.000191739999999996×6.99320574074069e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.99320574074069e-05×40589641000000     		ar = 235735.07779727m²