Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24560 / 8240
↖ ↑ ↗
← N 66.302206°
E 89.824219°		 ← 490.97 m → N 66.302206°
E 89.835205°		 →
↑
491.08 m
↓
↑
491.08 m
↓
N 66.297789°
E 89.824219°		 ← 491.05 m →
241 123 m²		 N 66.297789°
E 89.835205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749526977539062 y=0.251480102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749526977539062 × 215)
    floor (0.749526977539062 × 32768)
    floor (24560.5)     		tx = 24560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251480102539062 × 215)
    floor (0.251480102539062 × 32768)
    floor (8240.5)     		ty = 8240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24560 / 8240 ti = "15/24560/8240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24560/8240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24560 ÷ 215
    24560 ÷ 32768     		x = 0.74951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8240 ÷ 215
    8240 ÷ 32768     		y = 0.25146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74951171875 × 2 - 1) × π
    0.4990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56772837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25146484375 × 2 - 1) × π
    0.4970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56159244202295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56772837} λ = 1.56772837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56159244202295))-π/2
    2×atan(4.76640542915227)-π/2
    2×1.36399405683347-π/2
    2.72798811366694-1.57079632675     		φ = 1.15719179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56772837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15719179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.302206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24560 KachelY 8240 1.56772837 1.15719179 89.824219 66.302206
    Oben rechts KachelX + 1 24561 KachelY 8240 1.56792011 1.15719179 89.835205 66.302206
    Unten links KachelX 24560 KachelY + 1 8241 1.56772837 1.15711471 89.824219 66.297789
    Unten rechts KachelX + 1 24561 KachelY + 1 8241 1.56792011 1.15711471 89.835205 66.297789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15719179-1.15711471) × R
    7.70799999998406e-05 × 6371000     		dl = 491.076679998985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15719179-1.15711471) × R
    7.70799999998406e-05 × 6371000     		dr = 491.076679998985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56772837-1.56792011) × cos(1.15719179) × R
    0.000191739999999996 × 0.401912527077093 × 6371000     		do = 490.966512296954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56772837-1.56792011) × cos(1.15711471) × R
    0.000191739999999996 × 0.401983106348405 × 6371000     		du = 491.052730208419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15719179)-sin(1.15711471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401912527077093-0.401983106348405)×R²
    abs(1.56792011-1.56772837)×7.05792713115438e-05×R²
    0.000191739999999996×7.05792713115438e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.05792713115438e-05×40589641000000     		ar = 241123.374771392m²