Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24561 / 41009
↖ ↑ ↗
← S 41.182788°
W 45.082397°		 ← 459.69 m → S 41.182788°
W 45.076904°		 →
↑
459.67 m
↓
↑
459.67 m
↓
S 41.186922°
W 45.082397°		 ← 459.66 m →
211 296 m²		 S 41.186922°
W 45.076904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374778747558594 y=0.625755310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374778747558594 × 216)
    floor (0.374778747558594 × 65536)
    floor (24561.5)     		tx = 24561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625755310058594 × 216)
    floor (0.625755310058594 × 65536)
    floor (41009.5)     		ty = 41009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24561 / 41009 ti = "16/24561/41009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24561/41009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24561 ÷ 216
    24561 ÷ 65536     		x = 0.374771118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41009 ÷ 216
    41009 ÷ 65536     		y = 0.625747680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374771118164062 × 2 - 1) × π
    -0.250457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78683627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625747680664062 × 2 - 1) × π
    -0.251495361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.790095979537766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78683627} λ = -0.78683627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790095979537766))-π/2
    2×atan(0.453801237559046)-π/2
    2×0.426010537667216-π/2
    0.852021075334432-1.57079632675     		φ = -0.71877525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78683627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.082397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71877525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.182788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24561 KachelY 41009 -0.78683627 -0.71877525 -45.082397 -41.182788
    Oben rechts KachelX + 1 24562 KachelY 41009 -0.78674040 -0.71877525 -45.076904 -41.182788
    Unten links KachelX 24561 KachelY + 1 41010 -0.78683627 -0.71884740 -45.082397 -41.186922
    Unten rechts KachelX + 1 24562 KachelY + 1 41010 -0.78674040 -0.71884740 -45.076904 -41.186922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71877525--0.71884740) × R
    7.21500000000486e-05 × 6371000     		dl = 459.667650000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71877525--0.71884740) × R
    7.21500000000486e-05 × 6371000     		dr = 459.667650000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78683627--0.78674040) × cos(-0.71877525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.752612746457046 × 6371000     		do = 459.686661082065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78683627--0.78674040) × cos(-0.71884740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.75256523636361 × 6371000     		du = 459.657642498042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71877525)-sin(-0.71884740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752612746457046-0.75256523636361)×R²
    abs(-0.78674040--0.78683627)×4.75100934368422e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75100934368422e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75100934368422e-05×40589641000000     		ar = 211296.417875576m²