Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24562 / 40946
↖ ↑ ↗
← S 40.921815°
W 45.076904°		 ← 461.56 m → S 40.921815°
W 45.071411°		 →
↑
461.52 m
↓
↑
461.52 m
↓
S 40.925965°
W 45.076904°		 ← 461.53 m →
213 011 m²		 S 40.925965°
W 45.071411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374794006347656 y=0.624794006347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374794006347656 × 216)
    floor (0.374794006347656 × 65536)
    floor (24562.5)     		tx = 24562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624794006347656 × 216)
    floor (0.624794006347656 × 65536)
    floor (40946.5)     		ty = 40946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24562 / 40946 ti = "16/24562/40946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24562/40946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24562 ÷ 216
    24562 ÷ 65536     		x = 0.374786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40946 ÷ 216
    40946 ÷ 65536     		y = 0.624786376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.25042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78674040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.24957275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.784055930185638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78674040} λ = -0.78674040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784055930185638))-π/2
    2×atan(0.456550513954215)-π/2
    2×0.428287964712878-π/2
    0.856575929425756-1.57079632675     		φ = -0.71422040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78674040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.076904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71422040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.921815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24562 KachelY 40946 -0.78674040 -0.71422040 -45.076904 -40.921815
    Oben rechts KachelX + 1 24563 KachelY 40946 -0.78664452 -0.71422040 -45.071411 -40.921815
    Unten links KachelX 24562 KachelY + 1 40947 -0.78674040 -0.71429284 -45.076904 -40.925965
    Unten rechts KachelX + 1 24563 KachelY + 1 40947 -0.78664452 -0.71429284 -45.071411 -40.925965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71422040--0.71429284) × R
    7.24400000000625e-05 × 6371000     		dl = 461.515240000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71422040--0.71429284) × R
    7.24400000000625e-05 × 6371000     		dr = 461.515240000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78674040--0.78664452) × cos(-0.71422040) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.755604131034012 × 6371000     		do = 461.561901736472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78674040--0.78664452) × cos(-0.71429284) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.755556678783584 × 6371000     		du = 461.532915459069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71422040)-sin(-0.71429284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755604131034012-0.755556678783584)×R²
    abs(-0.78664452--0.78674040)×4.7452250427571e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.7452250427571e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.7452250427571e-05×40589641000000     		ar = 213011.163143801m²