Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24564 / 41012
↖ ↑ ↗
← S 41.195190°
W 45.065918°		 ← 459.60 m → S 41.195190°
W 45.060425°		 →
↑
459.60 m
↓
↑
459.60 m
↓
S 41.199323°
W 45.065918°		 ← 459.57 m →
211 227 m²		 S 41.199323°
W 45.060425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374824523925781 y=0.625801086425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374824523925781 × 216)
    floor (0.374824523925781 × 65536)
    floor (24564.5)     		tx = 24564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625801086425781 × 216)
    floor (0.625801086425781 × 65536)
    floor (41012.5)     		ty = 41012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24564 / 41012 ti = "16/24564/41012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24564/41012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24564 ÷ 216
    24564 ÷ 65536     		x = 0.37481689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41012 ÷ 216
    41012 ÷ 65536     		y = 0.62579345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.2503662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78654865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62579345703125 × 2 - 1) × π
    -0.2515869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.790383600935486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78654865} λ = -0.78654865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790383600935486))-π/2
    2×atan(0.453670733381609)-π/2
    2×0.42590231415161-π/2
    0.851804628303221-1.57079632675     		φ = -0.71899170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78654865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.065918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71899170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.195190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24564 KachelY 41012 -0.78654865 -0.71899170 -45.065918 -41.195190
    Oben rechts KachelX + 1 24565 KachelY 41012 -0.78645278 -0.71899170 -45.060425 -41.195190
    Unten links KachelX 24564 KachelY + 1 41013 -0.78654865 -0.71906384 -45.065918 -41.199323
    Unten rechts KachelX + 1 24565 KachelY + 1 41013 -0.78645278 -0.71906384 -45.060425 -41.199323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71899170--0.71906384) × R
    7.21399999999983e-05 × 6371000     		dl = 459.603939999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71899170--0.71906384) × R
    7.21399999999983e-05 × 6371000     		dr = 459.603939999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78654865--0.78645278) × cos(-0.71899170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.752470204424271 × 6371000     		do = 459.599598151735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78654865--0.78645278) × cos(-0.71906384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.752422689165671 × 6371000     		du = 459.570576412893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71899170)-sin(-0.71906384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752470204424271-0.752422689165671)×R²
    abs(-0.78645278--0.78654865)×4.75152586006944e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75152586006944e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75152586006944e-05×40589641000000     		ar = 211227.116971623m²