Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24572 / 40972
↖ ↑ ↗
← S 41.029644°
W 45.021973°		 ← 460.81 m → S 41.029644°
W 45.016479°		 →
↑
460.75 m
↓
↑
460.75 m
↓
S 41.033787°
W 45.021973°		 ← 460.78 m →
212 311 m²		 S 41.033787°
W 45.016479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374946594238281 y=0.625190734863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374946594238281 × 216)
    floor (0.374946594238281 × 65536)
    floor (24572.5)     		tx = 24572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625190734863281 × 216)
    floor (0.625190734863281 × 65536)
    floor (40972.5)     		ty = 40972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24572 / 40972 ti = "16/24572/40972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24572/40972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24572 ÷ 216
    24572 ÷ 65536     		x = 0.37493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40972 ÷ 216
    40972 ÷ 65536     		y = 0.62518310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.2501220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78578166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62518310546875 × 2 - 1) × π
    -0.2503662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.786548648965881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78578166} λ = -0.78578166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786548648965881))-π/2
    2×atan(0.455413879157957)-π/2
    2×0.427346979393342-π/2
    0.854693958786684-1.57079632675     		φ = -0.71610237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78578166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71610237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.029644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24572 KachelY 40972 -0.78578166 -0.71610237 -45.021973 -41.029644
    Oben rechts KachelX + 1 24573 KachelY 40972 -0.78568578 -0.71610237 -45.016479 -41.029644
    Unten links KachelX 24572 KachelY + 1 40973 -0.78578166 -0.71617469 -45.021973 -41.033787
    Unten rechts KachelX + 1 24573 KachelY + 1 40973 -0.78568578 -0.71617469 -45.016479 -41.033787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71610237--0.71617469) × R
    7.23200000000146e-05 × 6371000     		dl = 460.750720000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71610237--0.71617469) × R
    7.23200000000146e-05 × 6371000     		dr = 460.750720000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78578166--0.78568578) × cos(-0.71610237) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.754370049584275 × 6371000     		do = 460.808061256459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78578166--0.78568578) × cos(-0.71617469) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.754322573190217 × 6371000     		du = 460.779060230884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71610237)-sin(-0.71617469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754370049584275-0.754322573190217)×R²
    abs(-0.78568578--0.78578166)×4.74763940584433e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.74763940584433e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.74763940584433e-05×40589641000000     		ar = 212310.964976753m²