Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24574 / 40970
↖ ↑ ↗
← S 41.021355°
W 45.010986°		 ← 460.82 m → S 41.021355°
W 45.005493°		 →
↑
460.81 m
↓
↑
460.81 m
↓
S 41.025499°
W 45.010986°		 ← 460.79 m →
212 345 m²		 S 41.025499°
W 45.005493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374977111816406 y=0.625160217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374977111816406 × 216)
    floor (0.374977111816406 × 65536)
    floor (24574.5)     		tx = 24574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625160217285156 × 216)
    floor (0.625160217285156 × 65536)
    floor (40970.5)     		ty = 40970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24574 / 40970 ti = "16/24574/40970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24574/40970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24574 ÷ 216
    24574 ÷ 65536     		x = 0.374969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40970 ÷ 216
    40970 ÷ 65536     		y = 0.625152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374969482421875 × 2 - 1) × π
    -0.25006103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78558991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625152587890625 × 2 - 1) × π
    -0.25030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.786356901367401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78558991} λ = -0.78558991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786356901367401))-π/2
    2×atan(0.455501212048269)-π/2
    2×0.427419308267918-π/2
    0.854838616535836-1.57079632675     		φ = -0.71595771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78558991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71595771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.021355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24574 KachelY 40970 -0.78558991 -0.71595771 -45.010986 -41.021355
    Oben rechts KachelX + 1 24575 KachelY 40970 -0.78549404 -0.71595771 -45.005493 -41.021355
    Unten links KachelX 24574 KachelY + 1 40971 -0.78558991 -0.71603004 -45.010986 -41.025499
    Unten rechts KachelX + 1 24575 KachelY + 1 40971 -0.78549404 -0.71603004 -45.005493 -41.025499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71595771--0.71603004) × R
    7.23300000000648e-05 × 6371000     		dl = 460.814430000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71595771--0.71603004) × R
    7.23300000000648e-05 × 6371000     		dr = 460.814430000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78558991--0.78549404) × cos(-0.71595771) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.75446500366247 × 6371000     		do = 460.817997130032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78558991--0.78549404) × cos(-0.71603004) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.754417528596789 × 6371000     		du = 460.788999940534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71595771)-sin(-0.71603004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75446500366247-0.754417528596789)×R²
    abs(-0.78549404--0.78558991)×4.74750656813683e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74750656813683e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74750656813683e-05×40589641000000     		ar = 212344.901612699m²