Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24574 / 8190
↖ ↑ ↗
← N 66.522016°
E 89.978027°		 ← 486.70 m → N 66.522016°
E 89.989014°		 →
↑
486.74 m
↓
↑
486.74 m
↓
N 66.517638°
E 89.978027°		 ← 486.78 m →
236 918 m²		 N 66.517638°
E 89.989014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749954223632812 y=0.249954223632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749954223632812 × 215)
    floor (0.749954223632812 × 32768)
    floor (24574.5)     		tx = 24574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249954223632812 × 215)
    floor (0.249954223632812 × 32768)
    floor (8190.5)     		ty = 8190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24574 / 8190 ti = "15/24574/8190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24574/8190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24574 ÷ 215
    24574 ÷ 32768     		x = 0.74993896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8190 ÷ 215
    8190 ÷ 32768     		y = 0.24993896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74993896484375 × 2 - 1) × π
    0.4998779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57041283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24993896484375 × 2 - 1) × π
    0.5001220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.57117982194696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57041283} λ = 1.57041283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57117982194696))-π/2
    2×atan(4.81232252950021)-π/2
    2×1.36591226391234-π/2
    2.73182452782469-1.57079632675     		φ = 1.16102820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57041283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16102820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.522016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24574 KachelY 8190 1.57041283 1.16102820 89.978027 66.522016
    Oben rechts KachelX + 1 24575 KachelY 8190 1.57060458 1.16102820 89.989014 66.522016
    Unten links KachelX 24574 KachelY + 1 8191 1.57041283 1.16095180 89.978027 66.517638
    Unten rechts KachelX + 1 24575 KachelY + 1 8191 1.57060458 1.16095180 89.989014 66.517638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16102820-1.16095180) × R
    7.63999999999765e-05 × 6371000     		dl = 486.74439999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16102820-1.16095180) × R
    7.63999999999765e-05 × 6371000     		dr = 486.74439999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57041283-1.57060458) × cos(1.16102820) × R
    0.000191749999999935 × 0.398396661526023 × 6371000     		do = 486.69699878899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57041283-1.57060458) × cos(1.16095180) × R
    0.000191749999999935 × 0.398466735453631 × 6371000     		du = 486.782603849357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16102820)-sin(1.16095180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398396661526023-0.398466735453631)×R²
    abs(1.57060458-1.57041283)×7.00739276078832e-05×R²
    0.000191749999999935×7.00739276078832e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.00739276078832e-05×40589641000000     		ar = 236917.872664585m²