Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24575 / 24577
↖ ↑ ↗
← S 66.517638°
E 89.989014°		 ← 486.78 m → S 66.517638°
E 90.000000°		 →
↑
486.74 m
↓
↑
486.74 m
↓
S 66.522016°
E 89.989014°		 ← 486.70 m →
236 918 m²		 S 66.522016°
E 90.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749984741210938 y=0.750045776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749984741210938 × 215)
    floor (0.749984741210938 × 32768)
    floor (24575.5)     		tx = 24575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750045776367188 × 215)
    floor (0.750045776367188 × 32768)
    floor (24577.5)     		ty = 24577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24575 / 24577 ti = "15/24575/24577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24575/24577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24575 ÷ 215
    24575 ÷ 32768     		x = 0.749969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24577 ÷ 215
    24577 ÷ 32768     		y = 0.750030517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.749969482421875 × 2 - 1) × π
    0.49993896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.57060458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750030517578125 × 2 - 1) × π
    -0.50006103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57098807434848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57060458} λ = 1.57060458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57098807434848))-π/2
    2×atan(0.20783971977188)-π/2
    2×0.20492226204298-π/2
    0.409844524085959-1.57079632675     		φ = -1.16095180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57060458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.989014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16095180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.517638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24575 KachelY 24577 1.57060458 -1.16095180 89.989014 -66.517638
    Oben rechts KachelX + 1 24576 KachelY 24577 1.57079633 -1.16095180 90.000000 -66.517638
    Unten links KachelX 24575 KachelY + 1 24578 1.57060458 -1.16102820 89.989014 -66.522016
    Unten rechts KachelX + 1 24576 KachelY + 1 24578 1.57079633 -1.16102820 90.000000 -66.522016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16095180--1.16102820) × R
    7.63999999999765e-05 × 6371000     		dl = 486.74439999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16095180--1.16102820) × R
    7.63999999999765e-05 × 6371000     		dr = 486.74439999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57060458-1.57079633) × cos(-1.16095180) × R
    0.000191750000000157 × 0.398466735453631 × 6371000     		do = 486.782603849921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57060458-1.57079633) × cos(-1.16102820) × R
    0.000191750000000157 × 0.398396661526023 × 6371000     		du = 486.696998789553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16095180)-sin(-1.16102820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398466735453631-0.398396661526023)×R²
    abs(1.57079633-1.57060458)×7.00739276078832e-05×R²
    0.000191750000000157×7.00739276078832e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.00739276078832e-05×40589641000000     		ar = 236917.872664859m²