Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24575 / 40963
↖ ↑ ↗
← S 40.992338°
W 45.005493°		 ← 461.07 m → S 40.992338°
W 45.000000°		 →
↑
461.07 m
↓
↑
461.07 m
↓
S 40.996484°
W 45.005493°		 ← 461.04 m →
212 578 m²		 S 40.996484°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374992370605469 y=0.625053405761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374992370605469 × 216)
    floor (0.374992370605469 × 65536)
    floor (24575.5)     		tx = 24575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625053405761719 × 216)
    floor (0.625053405761719 × 65536)
    floor (40963.5)     		ty = 40963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24575 / 40963 ti = "16/24575/40963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24575/40963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24575 ÷ 216
    24575 ÷ 65536     		x = 0.374984741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40963 ÷ 216
    40963 ÷ 65536     		y = 0.625045776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374984741210938 × 2 - 1) × π
    -0.250030517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78549404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625045776367188 × 2 - 1) × π
    -0.250091552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.78568578477272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78549404} λ = -0.78549404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.78568578477272))-π/2
    2×atan(0.455807009071823)-π/2
    2×0.427672531014863-π/2
    0.855345062029725-1.57079632675     		φ = -0.71545126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78549404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.005493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71545126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.992338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24575 KachelY 40963 -0.78549404 -0.71545126 -45.005493 -40.992338
    Oben rechts KachelX + 1 24576 KachelY 40963 -0.78539816 -0.71545126 -45.000000 -40.992338
    Unten links KachelX 24575 KachelY + 1 40964 -0.78549404 -0.71552363 -45.005493 -40.996484
    Unten rechts KachelX + 1 24576 KachelY + 1 40964 -0.78539816 -0.71552363 -45.000000 -40.996484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71545126--0.71552363) × R
    7.23699999999328e-05 × 6371000     		dl = 461.069269999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71545126--0.71552363) × R
    7.23699999999328e-05 × 6371000     		dr = 461.069269999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78549404--0.78539816) × cos(-0.71545126) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.754797310424209 × 6371000     		do = 461.069054172879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78549404--0.78539816) × cos(-0.71552363) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.754749836760443 × 6371000     		du = 461.040054815107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71545126)-sin(-0.71552363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754797310424209-0.754749836760443)×R²
    abs(-0.78539816--0.78549404)×4.74736637653406e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.74736637653406e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.74736637653406e-05×40589641000000     		ar = 212578.08696319m²