Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24577 / 24575
↖ ↑ ↗
← S 66.508882°
E 90.010986°		 ← 486.95 m → S 66.508882°
E 90.021973°		 →
↑
486.87 m
↓
↑
486.87 m
↓
S 66.513260°
E 90.010986°		 ← 486.87 m →
237 063 m²		 S 66.513260°
E 90.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750045776367188 y=0.749984741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750045776367188 × 215)
    floor (0.750045776367188 × 32768)
    floor (24577.5)     		tx = 24577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749984741210938 × 215)
    floor (0.749984741210938 × 32768)
    floor (24575.5)     		ty = 24575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24577 / 24575 ti = "15/24577/24575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24577/24575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24577 ÷ 215
    24577 ÷ 32768     		x = 0.750030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24575 ÷ 215
    24575 ÷ 32768     		y = 0.749969482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750030517578125 × 2 - 1) × π
    0.50006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57098807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749969482421875 × 2 - 1) × π
    -0.49993896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57060457915152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57098807} λ = 1.57098807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57060457915152))-π/2
    2×atan(0.207919440591448)-π/2
    2×0.204998680520549-π/2
    0.409997361041099-1.57079632675     		φ = -1.16079897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57098807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16079897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.508882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24577 KachelY 24575 1.57098807 -1.16079897 90.010986 -66.508882
    Oben rechts KachelX + 1 24578 KachelY 24575 1.57117982 -1.16079897 90.021973 -66.508882
    Unten links KachelX 24577 KachelY + 1 24576 1.57098807 -1.16087539 90.010986 -66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 24578 KachelY + 1 24576 1.57117982 -1.16087539 90.021973 -66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16079897--1.16087539) × R
    7.64199999998549e-05 × 6371000     		dl = 486.871819999076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16079897--1.16087539) × R
    7.64199999998549e-05 × 6371000     		dr = 486.871819999076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57098807-1.57117982) × cos(-1.16079897) × R
    0.000191749999999935 × 0.398606903844591 × 6371000     		do = 486.953839057363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57098807-1.57117982) × cos(-1.16087539) × R
    0.000191749999999935 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 486.868217272687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16079897)-sin(-1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398606903844591-0.398536816226928)×R²
    abs(1.57117982-1.57098807)×7.00876176630838e-05×R²
    0.000191749999999935×7.00876176630838e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.00876176630838e-05×40589641000000     		ar = 237063.2585759m²