Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 24577 / 57343
↖ ↑ ↗
← N 21.945593°
W112.497253°		 ← 283.29 m → N 21.945593°
W112.494507°		 →
↑
283.32 m
↓
↑
283.32 m
↓
N 21.943045°
W112.497253°		 ← 283.30 m →
80 263 m²		 N 21.943045°
W112.494507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.187511444091797 y=0.437496185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.187511444091797 × 217)
    floor (0.187511444091797 × 131072)
    floor (24577.5)     		tx = 24577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437496185302734 × 217)
    floor (0.437496185302734 × 131072)
    floor (57343.5)     		ty = 57343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 24577 / 57343 ti = "17/24577/57343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/24577/57343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24577 ÷ 217
    24577 ÷ 131072     		x = 0.187507629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57343 ÷ 217
    57343 ÷ 131072     		y = 0.437492370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.187507629394531 × 2 - 1) × π
    -0.624984741210938 × 3.1415926535     		Λ = -1.96344747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437492370605469 × 2 - 1) × π
    0.125015258789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.39274701858712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.96344747} λ = -1.96344747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39274701858712))-π/2
    2×atan(1.48104366541316)-π/2
    2×0.976909591503832-π/2
    1.95381918300766-1.57079632675     		φ = 0.38302286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.96344747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -112.497253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38302286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.945593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24577 KachelY 57343 -1.96344747 0.38302286 -112.497253 21.945593
    Oben rechts KachelX + 1 24578 KachelY 57343 -1.96339953 0.38302286 -112.494507 21.945593
    Unten links KachelX 24577 KachelY + 1 57344 -1.96344747 0.38297839 -112.497253 21.943045
    Unten rechts KachelX + 1 24578 KachelY + 1 57344 -1.96339953 0.38297839 -112.494507 21.943045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38302286-0.38297839) × R
    4.44700000000187e-05 × 6371000     		dl = 283.318370000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38302286-0.38297839) × R
    4.44700000000187e-05 × 6371000     		dr = 283.318370000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.96344747--1.96339953) × cos(0.38302286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927539153715829 × 6371000     		do = 283.294332402445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.96344747--1.96339953) × cos(0.38297839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927555772393619 × 6371000     		du = 283.299408174407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38302286)-sin(0.38297839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927539153715829-0.927555772393619)×R²
    abs(-1.96339953--1.96344747)×1.66186777899036e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66186777899036e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66186777899036e-05×40589641000000     		ar = 80263.2075295405m²