Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24577 / 8191
↖ ↑ ↗
← N 66.517638°
E 90.010986°		 ← 486.78 m → N 66.517638°
E 90.021973°		 →
↑
486.81 m
↓
↑
486.81 m
↓
N 66.513260°
E 90.010986°		 ← 486.87 m →
236 991 m²		 N 66.513260°
E 90.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750045776367188 y=0.249984741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750045776367188 × 215)
    floor (0.750045776367188 × 32768)
    floor (24577.5)     		tx = 24577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249984741210938 × 215)
    floor (0.249984741210938 × 32768)
    floor (8191.5)     		ty = 8191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24577 / 8191 ti = "15/24577/8191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24577/8191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24577 ÷ 215
    24577 ÷ 32768     		x = 0.750030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8191 ÷ 215
    8191 ÷ 32768     		y = 0.249969482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750030517578125 × 2 - 1) × π
    0.50006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57098807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.249969482421875 × 2 - 1) × π
    0.50006103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57098807434848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57098807} λ = 1.57098807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57098807434848))-π/2
    2×atan(4.81139986667408)-π/2
    2×1.36587406475192-π/2
    2.73174812950383-1.57079632675     		φ = 1.16095180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57098807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16095180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.517638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24577 KachelY 8191 1.57098807 1.16095180 90.010986 66.517638
    Oben rechts KachelX + 1 24578 KachelY 8191 1.57117982 1.16095180 90.021973 66.517638
    Unten links KachelX 24577 KachelY + 1 8192 1.57098807 1.16087539 90.010986 66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 24578 KachelY + 1 8192 1.57117982 1.16087539 90.021973 66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16095180-1.16087539) × R
    7.64100000001378e-05 × 6371000     		dl = 486.808110000878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16095180-1.16087539) × R
    7.64100000001378e-05 × 6371000     		dr = 486.808110000878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57098807-1.57117982) × cos(1.16095180) × R
    0.000191749999999935 × 0.398466735453631 × 6371000     		do = 486.782603849357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57098807-1.57117982) × cos(1.16087539) × R
    0.000191749999999935 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 486.868217272687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16095180)-sin(1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398466735453631-0.398536816226928)×R²
    abs(1.57117982-1.57098807)×7.00807732969544e-05×R²
    0.000191749999999935×7.00807732969544e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.00807732969544e-05×40589641000000     		ar = 236990.558130279m²