Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24578 / 40962
↖ ↑ ↗
← S 40.988192°
W 44.989014°		 ← 461.10 m → S 40.988192°
W 44.983520°		 →
↑
461.01 m
↓
↑
461.01 m
↓
S 40.992338°
W 44.989014°		 ← 461.07 m →
212 562 m²		 S 40.992338°
W 44.983520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375038146972656 y=0.625038146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375038146972656 × 216)
    floor (0.375038146972656 × 65536)
    floor (24578.5)     		tx = 24578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625038146972656 × 216)
    floor (0.625038146972656 × 65536)
    floor (40962.5)     		ty = 40962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24578 / 40962 ti = "16/24578/40962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24578/40962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24578 ÷ 216
    24578 ÷ 65536     		x = 0.375030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40962 ÷ 216
    40962 ÷ 65536     		y = 0.625030517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375030517578125 × 2 - 1) × π
    -0.24993896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78520642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625030517578125 × 2 - 1) × π
    -0.25006103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.78558991097348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78520642} λ = -0.78520642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.78558991097348))-π/2
    2×atan(0.45585071111641)-π/2
    2×0.427708714795357-π/2
    0.855417429590714-1.57079632675     		φ = -0.71537890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78520642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.989014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71537890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.988192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24578 KachelY 40962 -0.78520642 -0.71537890 -44.989014 -40.988192
    Oben rechts KachelX + 1 24579 KachelY 40962 -0.78511054 -0.71537890 -44.983520 -40.988192
    Unten links KachelX 24578 KachelY + 1 40963 -0.78520642 -0.71545126 -44.989014 -40.992338
    Unten rechts KachelX + 1 24579 KachelY + 1 40963 -0.78511054 -0.71545126 -44.983520 -40.992338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71537890--0.71545126) × R
    7.23599999999935e-05 × 6371000     		dl = 461.005559999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71537890--0.71545126) × R
    7.23599999999935e-05 × 6371000     		dr = 461.005559999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78520642--0.78511054) × cos(-0.71537890) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.754844773575751 × 6371000     		do = 461.09804710871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78520642--0.78511054) × cos(-0.71545126) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.754797310424209 × 6371000     		du = 461.069054172345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71537890)-sin(-0.71545126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754844773575751-0.754797310424209)×R²
    abs(-0.78511054--0.78520642)×4.74631515424706e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74631515424706e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74631515424706e-05×40589641000000     		ar = 212562.080562638m²