Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24578 / 57346
↖ ↑ ↗
← S 79.173398°
W 44.989014°		 ← 114.74 m → S 79.173398°
W 44.983520°		 →
↑
114.74 m
↓
↑
114.74 m
↓
S 79.174430°
W 44.989014°		 ← 114.73 m →
13 165 m²		 S 79.174430°
W 44.983520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375038146972656 y=0.875038146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375038146972656 × 216)
    floor (0.375038146972656 × 65536)
    floor (24578.5)     		tx = 24578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875038146972656 × 216)
    floor (0.875038146972656 × 65536)
    floor (57346.5)     		ty = 57346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24578 / 57346 ti = "16/24578/57346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24578/57346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24578 ÷ 216
    24578 ÷ 65536     		x = 0.375030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57346 ÷ 216
    57346 ÷ 65536     		y = 0.875030517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375030517578125 × 2 - 1) × π
    -0.24993896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78520642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875030517578125 × 2 - 1) × π
    -0.75006103515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35638623772348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78520642} λ = -0.78520642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35638623772348))-π/2
    2×atan(0.0947620527103273)-π/2
    2×0.0944799216867308-π/2
    0.188959843373462-1.57079632675     		φ = -1.38183648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78520642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.989014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38183648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.173398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24578 KachelY 57346 -0.78520642 -1.38183648 -44.989014 -79.173398
    Oben rechts KachelX + 1 24579 KachelY 57346 -0.78511054 -1.38183648 -44.983520 -79.173398
    Unten links KachelX 24578 KachelY + 1 57347 -0.78520642 -1.38185449 -44.989014 -79.174430
    Unten rechts KachelX + 1 24579 KachelY + 1 57347 -0.78511054 -1.38185449 -44.983520 -79.174430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38183648--1.38185449) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dl = 114.741710000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38183648--1.38185449) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dr = 114.741710000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78520642--0.78511054) × cos(-1.38183648) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187837358143128 × 6371000     		do = 114.740728220945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78520642--0.78511054) × cos(-1.38185449) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187819668688035 × 6371000     		du = 114.729922591121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38183648)-sin(-1.38185449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187837358143128-0.187819668688035)×R²
    abs(-0.78511054--0.78520642)×1.76894550927564e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.76894550927564e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.76894550927564e-05×40589641000000     		ar = 13164.9274347248m²