Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24579 / 8195
↖ ↑ ↗
← N 66.500122°
E 90.032959°		 ← 487.13 m → N 66.500122°
E 90.043945°		 →
↑
487.19 m
↓
↑
487.19 m
↓
N 66.495740°
E 90.032959°		 ← 487.21 m →
237 344 m²		 N 66.495740°
E 90.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750106811523438 y=0.250106811523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750106811523438 × 215)
    floor (0.750106811523438 × 32768)
    floor (24579.5)     		tx = 24579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250106811523438 × 215)
    floor (0.250106811523438 × 32768)
    floor (8195.5)     		ty = 8195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24579 / 8195 ti = "15/24579/8195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24579/8195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24579 ÷ 215
    24579 ÷ 32768     		x = 0.750091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8195 ÷ 215
    8195 ÷ 32768     		y = 0.250091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750091552734375 × 2 - 1) × π
    0.50018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57137157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250091552734375 × 2 - 1) × π
    0.49981689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.57022108395456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57137157} λ = 1.57137157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57022108395456))-π/2
    2×atan(4.80771098404464)-π/2
    2×1.36572120091477-π/2
    2.73144240182954-1.57079632675     		φ = 1.16064608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57137157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.032959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16064608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.500122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24579 KachelY 8195 1.57137157 1.16064608 90.032959 66.500122
    Oben rechts KachelX + 1 24580 KachelY 8195 1.57156332 1.16064608 90.043945 66.500122
    Unten links KachelX 24579 KachelY + 1 8196 1.57137157 1.16056961 90.032959 66.495740
    Unten rechts KachelX + 1 24580 KachelY + 1 8196 1.57156332 1.16056961 90.043945 66.495740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16064608-1.16056961) × R
    7.64699999999952e-05 × 6371000     		dl = 487.190369999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16064608-1.16056961) × R
    7.64699999999952e-05 × 6371000     		dr = 487.190369999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57137157-1.57156332) × cos(1.16064608) × R
    0.000191750000000157 × 0.398747117948942 × 6371000     		do = 487.125130111206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57137157-1.57156332) × cos(1.16056961) × R
    0.000191750000000157 × 0.398817244431763 × 6371000     		du = 487.210799375085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16064608)-sin(1.16056961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398747117948942-0.398817244431763)×R²
    abs(1.57156332-1.57137157)×7.01264828208981e-05×R²
    0.000191750000000157×7.01264828208981e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.01264828208981e-05×40589641000000     		ar = 237343.541110712m²