Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24581 / 8197
↖ ↑ ↗
← N 66.491359°
E 90.054931°		 ← 487.30 m → N 66.491359°
E 90.065918°		 →
↑
487.32 m
↓
↑
487.32 m
↓
N 66.486976°
E 90.054931°		 ← 487.38 m →
237 489 m²		 N 66.486976°
E 90.065918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750167846679688 y=0.250167846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750167846679688 × 215)
    floor (0.750167846679688 × 32768)
    floor (24581.5)     		tx = 24581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250167846679688 × 215)
    floor (0.250167846679688 × 32768)
    floor (8197.5)     		ty = 8197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24581 / 8197 ti = "15/24581/8197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24581/8197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24581 ÷ 215
    24581 ÷ 32768     		x = 0.750152587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8197 ÷ 215
    8197 ÷ 32768     		y = 0.250152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750152587890625 × 2 - 1) × π
    0.50030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57175506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250152587890625 × 2 - 1) × π
    0.49969482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5698375887576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57175506} λ = 1.57175506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5698375887576))-π/2
    2×atan(4.80586760346028)-π/2
    2×1.36564472866551-π/2
    2.73128945733102-1.57079632675     		φ = 1.16049313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57175506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.054931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16049313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.491359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24581 KachelY 8197 1.57175506 1.16049313 90.054931 66.491359
    Oben rechts KachelX + 1 24582 KachelY 8197 1.57194681 1.16049313 90.065918 66.491359
    Unten links KachelX 24581 KachelY + 1 8198 1.57175506 1.16041664 90.054931 66.486976
    Unten rechts KachelX + 1 24582 KachelY + 1 8198 1.57194681 1.16041664 90.065918 66.486976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16049313-1.16041664) × R
    7.64900000000956e-05 × 6371000     		dl = 487.317790000609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16049313-1.16041664) × R
    7.64900000000956e-05 × 6371000     		dr = 487.317790000609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57175506-1.57194681) × cos(1.16049313) × R
    0.000191749999999935 × 0.398887377752435 × 6371000     		do = 487.296476991787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57175506-1.57194681) × cos(1.16041664) × R
    0.000191749999999935 × 0.398957517909633 × 6371000     		du = 487.382162960821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16049313)-sin(1.16041664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398887377752435-0.398957517909633)×R²
    abs(1.57194681-1.57175506)×7.01401571981397e-05×R²
    0.000191749999999935×7.01401571981397e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.01401571981397e-05×40589641000000     		ar = 237489.120507009m²