Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24582 / 40974
↖ ↑ ↗
← S 41.037931°
W 44.967041°		 ← 460.70 m → S 41.037931°
W 44.961548°		 →
↑
460.69 m
↓
↑
460.69 m
↓
S 41.042074°
W 44.967041°		 ← 460.67 m →
212 233 m²		 S 41.042074°
W 44.961548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375099182128906 y=0.625221252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375099182128906 × 216)
    floor (0.375099182128906 × 65536)
    floor (24582.5)     		tx = 24582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625221252441406 × 216)
    floor (0.625221252441406 × 65536)
    floor (40974.5)     		ty = 40974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24582 / 40974 ti = "16/24582/40974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24582/40974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24582 ÷ 216
    24582 ÷ 65536     		x = 0.375091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40974 ÷ 216
    40974 ÷ 65536     		y = 0.625213623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375091552734375 × 2 - 1) × π
    -0.24981689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78482292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625213623046875 × 2 - 1) × π
    -0.25042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.786740396564362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78482292} λ = -0.78482292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786740396564362))-π/2
    2×atan(0.455326563011912)-π/2
    2×0.427274659622416-π/2
    0.854549319244833-1.57079632675     		φ = -0.71624701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78482292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.967041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71624701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.037931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24582 KachelY 40974 -0.78482292 -0.71624701 -44.967041 -41.037931
    Oben rechts KachelX + 1 24583 KachelY 40974 -0.78472705 -0.71624701 -44.961548 -41.037931
    Unten links KachelX 24582 KachelY + 1 40975 -0.78482292 -0.71631932 -44.967041 -41.042074
    Unten rechts KachelX + 1 24583 KachelY + 1 40975 -0.78472705 -0.71631932 -44.961548 -41.042074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71624701--0.71631932) × R
    7.23099999999643e-05 × 6371000     		dl = 460.687009999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71624701--0.71631932) × R
    7.23099999999643e-05 × 6371000     		dr = 460.687009999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78482292--0.78472705) × cos(-0.71624701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.754275092850914 × 6371000     		do = 460.702001928942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78482292--0.78472705) × cos(-0.71631932) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.754227615132745 × 6371000     		du = 460.673003119337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71624701)-sin(-0.71631932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754275092850914-0.754227615132745)×R²
    abs(-0.78472705--0.78482292)×4.74777181687092e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74777181687092e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74777181687092e-05×40589641000000     		ar = 212232.748174273m²