Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24583 / 40967
↖ ↑ ↗
← S 41.008921°
W 44.961548°		 ← 460.95 m → S 41.008921°
W 44.956055°		 →
↑
460.88 m
↓
↑
460.88 m
↓
S 41.013066°
W 44.961548°		 ← 460.92 m →
212 437 m²		 S 41.013066°
W 44.956055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375114440917969 y=0.625114440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375114440917969 × 216)
    floor (0.375114440917969 × 65536)
    floor (24583.5)     		tx = 24583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625114440917969 × 216)
    floor (0.625114440917969 × 65536)
    floor (40967.5)     		ty = 40967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24583 / 40967 ti = "16/24583/40967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24583/40967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24583 ÷ 216
    24583 ÷ 65536     		x = 0.375106811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40967 ÷ 216
    40967 ÷ 65536     		y = 0.625106811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375106811523438 × 2 - 1) × π
    -0.249786376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78472705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625106811523438 × 2 - 1) × π
    -0.250213623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.786069279969681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78472705} λ = -0.78472705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786069279969681))-π/2
    2×atan(0.45563224278626)-π/2
    2×0.427527818648321-π/2
    0.855055637296642-1.57079632675     		φ = -0.71574069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78472705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.961548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71574069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.008921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24583 KachelY 40967 -0.78472705 -0.71574069 -44.961548 -41.008921
    Oben rechts KachelX + 1 24584 KachelY 40967 -0.78463117 -0.71574069 -44.956055 -41.008921
    Unten links KachelX 24583 KachelY + 1 40968 -0.78472705 -0.71581303 -44.961548 -41.013066
    Unten rechts KachelX + 1 24584 KachelY + 1 40968 -0.78463117 -0.71581303 -44.956055 -41.013066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71574069--0.71581303) × R
    7.23400000000041e-05 × 6371000     		dl = 460.878140000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71574069--0.71581303) × R
    7.23400000000041e-05 × 6371000     		dr = 460.878140000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78472705--0.78463117) × cos(-0.71574069) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.754607424861332 × 6371000     		do = 460.953062295231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78472705--0.78463117) × cos(-0.71581303) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.754559955076964 × 6371000     		du = 460.924065307195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71574069)-sin(-0.71581303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754607424861332-0.754559955076964)×R²
    abs(-0.78463117--0.78472705)×4.74697843673155e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74697843673155e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74697843673155e-05×40589641000000     		ar = 212436.50803147m²