Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24583 / 57353
↖ ↑ ↗
← S 79.180619°
W 44.961548°		 ← 114.67 m → S 79.180619°
W 44.956055°		 →
↑
114.68 m
↓
↑
114.68 m
↓
S 79.181650°
W 44.961548°		 ← 114.65 m →
13 149 m²		 S 79.181650°
W 44.956055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375114440917969 y=0.875144958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375114440917969 × 216)
    floor (0.375114440917969 × 65536)
    floor (24583.5)     		tx = 24583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875144958496094 × 216)
    floor (0.875144958496094 × 65536)
    floor (57353.5)     		ty = 57353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24583 / 57353 ti = "16/24583/57353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24583/57353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24583 ÷ 216
    24583 ÷ 65536     		x = 0.375106811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57353 ÷ 216
    57353 ÷ 65536     		y = 0.875137329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375106811523438 × 2 - 1) × π
    -0.249786376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78472705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875137329101562 × 2 - 1) × π
    -0.750274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.35705735431816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78472705} λ = -0.78472705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35705735431816))-π/2
    2×atan(0.0946984776597293)-π/2
    2×0.0944169120732805-π/2
    0.188833824146561-1.57079632675     		φ = -1.38196250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78472705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.961548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38196250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.180619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24583 KachelY 57353 -0.78472705 -1.38196250 -44.961548 -79.180619
    Oben rechts KachelX + 1 24584 KachelY 57353 -0.78463117 -1.38196250 -44.956055 -79.180619
    Unten links KachelX 24583 KachelY + 1 57354 -0.78472705 -1.38198050 -44.961548 -79.181650
    Unten rechts KachelX + 1 24584 KachelY + 1 57354 -0.78463117 -1.38198050 -44.956055 -79.181650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38196250--1.38198050) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dl = 114.678000000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38196250--1.38198050) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dr = 114.678000000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78472705--0.78463117) × cos(-1.38196250) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187713579789525 × 6371000     		do = 114.665118030454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78472705--0.78463117) × cos(-1.38198050) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187695899730545 × 6371000     		du = 114.65431814026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38196250)-sin(-1.38198050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187713579789525-0.187695899730545)×R²
    abs(-0.78463117--0.78472705)×1.76800589798409e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.76800589798409e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.76800589798409e-05×40589641000000     		ar = 13148.9471512826m²