Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24583 / 8201
↖ ↑ ↗
← N 66.473823°
E 90.076904°		 ← 487.64 m → N 66.473823°
E 90.087891°		 →
↑
487.70 m
↓
↑
487.70 m
↓
N 66.469437°
E 90.076904°		 ← 487.73 m →
237 843 m²		 N 66.469437°
E 90.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750228881835938 y=0.250289916992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750228881835938 × 215)
    floor (0.750228881835938 × 32768)
    floor (24583.5)     		tx = 24583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250289916992188 × 215)
    floor (0.250289916992188 × 32768)
    floor (8201.5)     		ty = 8201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24583 / 8201 ti = "15/24583/8201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24583/8201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24583 ÷ 215
    24583 ÷ 32768     		x = 0.750213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8201 ÷ 215
    8201 ÷ 32768     		y = 0.250274658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750213623046875 × 2 - 1) × π
    0.50042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.57213856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250274658203125 × 2 - 1) × π
    0.49945068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56907059836368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57213856} λ = 1.57213856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56907059836368))-π/2
    2×atan(4.80218296239675)-π/2
    2×1.36549170346728-π/2
    2.73098340693456-1.57079632675     		φ = 1.16018708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57213856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.076904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16018708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.473823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24583 KachelY 8201 1.57213856 1.16018708 90.076904 66.473823
    Oben rechts KachelX + 1 24584 KachelY 8201 1.57233031 1.16018708 90.087891 66.473823
    Unten links KachelX 24583 KachelY + 1 8202 1.57213856 1.16011053 90.076904 66.469437
    Unten rechts KachelX + 1 24584 KachelY + 1 8202 1.57233031 1.16011053 90.087891 66.469437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16018708-1.16011053) × R
    7.6549999999953e-05 × 6371000     		dl = 487.700049999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16018708-1.16011053) × R
    7.6549999999953e-05 × 6371000     		dr = 487.700049999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57213856-1.57233031) × cos(1.16018708) × R
    0.000191749999999935 × 0.399168006893457 × 6371000     		do = 487.639304565153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57213856-1.57233031) × cos(1.16011053) × R
    0.000191749999999935 × 0.399238192719525 × 6371000     		du = 487.725046325071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16018708)-sin(1.16011053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399168006893457-0.399238192719525)×R²
    abs(1.57233031-1.57213856)×7.01858260679367e-05×R²
    0.000191749999999935×7.01858260679367e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.01858260679367e-05×40589641000000     		ar = 237842.621464648m²