Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24584 / 24584
↖ ↑ ↗
← S 66.548264°
E 90.087891°		 ← 486.18 m → S 66.548264°
E 90.098877°		 →
↑
486.11 m
↓
↑
486.11 m
↓
S 66.552635°
E 90.087891°		 ← 486.10 m →
236 317 m²		 S 66.552635°
E 90.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750259399414062 y=0.750259399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750259399414062 × 215)
    floor (0.750259399414062 × 32768)
    floor (24584.5)     		tx = 24584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750259399414062 × 215)
    floor (0.750259399414062 × 32768)
    floor (24584.5)     		ty = 24584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24584 / 24584 ti = "15/24584/24584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24584/24584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24584 ÷ 215
    24584 ÷ 32768     		x = 0.750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24584 ÷ 215
    24584 ÷ 32768     		y = 0.750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750244140625 × 2 - 1) × π
    0.50048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57233031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.50048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57233030753784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57233031} λ = 1.57233031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57233030753784))-π/2
    2×atan(0.207560937539171)-π/2
    2×0.204655008956599-π/2
    0.409310017913198-1.57079632675     		φ = -1.16148631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57233031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16148631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.548264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24584 KachelY 24584 1.57233031 -1.16148631 90.087891 -66.548264
    Oben rechts KachelX + 1 24585 KachelY 24584 1.57252206 -1.16148631 90.098877 -66.548264
    Unten links KachelX 24584 KachelY + 1 24585 1.57233031 -1.16156261 90.087891 -66.552635
    Unten rechts KachelX + 1 24585 KachelY + 1 24585 1.57252206 -1.16156261 90.098877 -66.552635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16148631--1.16156261) × R
    7.63000000001401e-05 × 6371000     		dl = 486.107300000893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16148631--1.16156261) × R
    7.63000000001401e-05 × 6371000     		dr = 486.107300000893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57233031-1.57252206) × cos(-1.16148631) × R
    0.000191750000000157 × 0.397976435185511 × 6371000     		do = 486.1836337981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57233031-1.57252206) × cos(-1.16156261) × R
    0.000191750000000157 × 0.397906436739935 × 6371000     		du = 486.098120949545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16148631)-sin(-1.16156261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397976435185511-0.397906436739935)×R²
    abs(1.57252206-1.57233031)×6.99984455765912e-05×R²
    0.000191750000000157×6.99984455765912e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.99984455765912e-05×40589641000000     		ar = 236316.629435078m²