Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24584 / 8200
↖ ↑ ↗
← N 66.478208°
E 90.087891°		 ← 487.55 m → N 66.478208°
E 90.098877°		 →
↑
487.57 m
↓
↑
487.57 m
↓
N 66.473823°
E 90.087891°		 ← 487.64 m →
237 739 m²		 N 66.473823°
E 90.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750259399414062 y=0.250259399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750259399414062 × 215)
    floor (0.750259399414062 × 32768)
    floor (24584.5)     		tx = 24584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250259399414062 × 215)
    floor (0.250259399414062 × 32768)
    floor (8200.5)     		ty = 8200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24584 / 8200 ti = "15/24584/8200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24584/8200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24584 ÷ 215
    24584 ÷ 32768     		x = 0.750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8200 ÷ 215
    8200 ÷ 32768     		y = 0.250244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750244140625 × 2 - 1) × π
    0.50048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57233031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250244140625 × 2 - 1) × π
    0.49951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.56926234596216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57233031} λ = 1.57233031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56926234596216))-π/2
    2×atan(4.80310385773417)-π/2
    2×1.3655299698567-π/2
    2.7310599397134-1.57079632675     		φ = 1.16026361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57233031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16026361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.478208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24584 KachelY 8200 1.57233031 1.16026361 90.087891 66.478208
    Oben rechts KachelX + 1 24585 KachelY 8200 1.57252206 1.16026361 90.098877 66.478208
    Unten links KachelX 24584 KachelY + 1 8201 1.57233031 1.16018708 90.087891 66.473823
    Unten rechts KachelX + 1 24585 KachelY + 1 8201 1.57252206 1.16018708 90.098877 66.473823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16026361-1.16018708) × R
    7.65299999998525e-05 × 6371000     		dl = 487.572629999061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16026361-1.16018708) × R
    7.65299999998525e-05 × 6371000     		dr = 487.572629999061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57233031-1.57252206) × cos(1.16026361) × R
    0.000191750000000157 × 0.399097837066471 × 6371000     		do = 487.553582350905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57233031-1.57252206) × cos(1.16018708) × R
    0.000191750000000157 × 0.399168006893457 × 6371000     		du = 487.639304565717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16026361)-sin(1.16018708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399097837066471-0.399168006893457)×R²
    abs(1.57252206-1.57233031)×7.01698269864326e-05×R²
    0.000191750000000157×7.01698269864326e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.01698269864326e-05×40589641000000     		ar = 237738.680430659m²