Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24591 / 24593
↖ ↑ ↗
← S 66.587583°
E 90.164795°		 ← 485.41 m → S 66.587583°
E 90.175781°		 →
↑
485.41 m
↓
↑
485.41 m
↓
S 66.591948°
E 90.164795°		 ← 485.33 m →
235 603 m²		 S 66.591948°
E 90.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750473022460938 y=0.750534057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750473022460938 × 215)
    floor (0.750473022460938 × 32768)
    floor (24591.5)     		tx = 24591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750534057617188 × 215)
    floor (0.750534057617188 × 32768)
    floor (24593.5)     		ty = 24593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24591 / 24593 ti = "15/24591/24593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24591/24593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24591 ÷ 215
    24591 ÷ 32768     		x = 0.750457763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24593 ÷ 215
    24593 ÷ 32768     		y = 0.750518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750457763671875 × 2 - 1) × π
    0.50091552734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.57367254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.50103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57405603592416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57367254} λ = 1.57367254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57405603592416))-π/2
    2×atan(0.207203052632259)-π/2
    2×0.204311881054581-π/2
    0.408623762109162-1.57079632675     		φ = -1.16217256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57367254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.164795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16217256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.587583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24591 KachelY 24593 1.57367254 -1.16217256 90.164795 -66.587583
    Oben rechts KachelX + 1 24592 KachelY 24593 1.57386429 -1.16217256 90.175781 -66.587583
    Unten links KachelX 24591 KachelY + 1 24594 1.57367254 -1.16224875 90.164795 -66.591948
    Unten rechts KachelX + 1 24592 KachelY + 1 24594 1.57386429 -1.16224875 90.175781 -66.591948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16217256--1.16224875) × R
    7.61900000001425e-05 × 6371000     		dl = 485.406490000908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16217256--1.16224875) × R
    7.61900000001425e-05 × 6371000     		dr = 485.406490000908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57367254-1.57386429) × cos(-1.16217256) × R
    0.000191749999999935 × 0.397346778766872 × 6371000     		do = 485.414420802513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57367254-1.57386429) × cos(-1.16224875) × R
    0.000191749999999935 × 0.397276860448088 × 6371000     		du = 485.329005839993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16217256)-sin(-1.16224875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397346778766872-0.397276860448088)×R²
    abs(1.57386429-1.57367254)×6.99183187833907e-05×R²
    0.000191749999999935×6.99183187833907e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.99183187833907e-05×40589641000000     		ar = 235602.57982311m²