Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24591 / 8207
↖ ↑ ↗
← N 79.155843°
W 44.917603°		 ← 114.92 m → N 79.155843°
W 44.912109°		 →
↑
114.93 m
↓
↑
114.93 m
↓
N 79.154810°
W 44.917603°		 ← 114.94 m →
13 209 m²		 N 79.154810°
W 44.912109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375236511230469 y=0.125236511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375236511230469 × 216)
    floor (0.375236511230469 × 65536)
    floor (24591.5)     		tx = 24591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125236511230469 × 216)
    floor (0.125236511230469 × 65536)
    floor (8207.5)     		ty = 8207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24591 / 8207 ti = "16/24591/8207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24591/8207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24591 ÷ 216
    24591 ÷ 65536     		x = 0.375228881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8207 ÷ 216
    8207 ÷ 65536     		y = 0.125228881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375228881835938 × 2 - 1) × π
    -0.249542236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78396006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125228881835938 × 2 - 1) × π
    0.749542236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3547563831364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78396006} λ = -0.78396006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3547563831364))-π/2
    2×atan(10.5355619084832)-π/2
    2×1.47616320873441-π/2
    2.95232641746883-1.57079632675     		φ = 1.38153009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78396006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.917603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38153009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.155843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24591 KachelY 8207 -0.78396006 1.38153009 -44.917603 79.155843
    Oben rechts KachelX + 1 24592 KachelY 8207 -0.78386418 1.38153009 -44.912109 79.155843
    Unten links KachelX 24591 KachelY + 1 8208 -0.78396006 1.38151205 -44.917603 79.154810
    Unten rechts KachelX + 1 24592 KachelY + 1 8208 -0.78386418 1.38151205 -44.912109 79.154810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38153009-1.38151205) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dl = 114.932840000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38153009-1.38151205) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dr = 114.932840000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78396006--0.78386418) × cos(1.38153009) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.188138285624566 × 6371000     		do = 114.924550218353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78396006--0.78386418) × cos(1.38151205) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.188156003445525 × 6371000     		du = 114.935373175509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38153009)-sin(1.38151205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188138285624566-0.188156003445525)×R²
    abs(-0.78386418--0.78396006)×1.77178209591899e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.77178209591899e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.77178209591899e-05×40589641000000     		ar = 13209.2268991441m²