Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24592 / 40976
↖ ↑ ↗
← S 41.046217°
W 44.912109°		 ← 460.64 m → S 41.046217°
W 44.906616°		 →
↑
460.62 m
↓
↑
460.62 m
↓
S 41.050359°
W 44.912109°		 ← 460.62 m →
212 177 m²		 S 41.050359°
W 44.906616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375251770019531 y=0.625251770019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375251770019531 × 216)
    floor (0.375251770019531 × 65536)
    floor (24592.5)     		tx = 24592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625251770019531 × 216)
    floor (0.625251770019531 × 65536)
    floor (40976.5)     		ty = 40976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24592 / 40976 ti = "16/24592/40976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24592/40976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24592 ÷ 216
    24592 ÷ 65536     		x = 0.375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40976 ÷ 216
    40976 ÷ 65536     		y = 0.625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.24951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78386418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.25048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.786932144162842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78386418} λ = -0.78386418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786932144162842))-π/2
    2×atan(0.455239263606924)-π/2
    2×0.427202348955508-π/2
    0.854404697911016-1.57079632675     		φ = -0.71639163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78386418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71639163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.046217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24592 KachelY 40976 -0.78386418 -0.71639163 -44.912109 -41.046217
    Oben rechts KachelX + 1 24593 KachelY 40976 -0.78376831 -0.71639163 -44.906616 -41.046217
    Unten links KachelX 24592 KachelY + 1 40977 -0.78386418 -0.71646393 -44.912109 -41.050359
    Unten rechts KachelX + 1 24593 KachelY + 1 40977 -0.78376831 -0.71646393 -44.906616 -41.050359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71639163--0.71646393) × R
    7.23000000000251e-05 × 6371000     		dl = 460.62330000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71639163--0.71646393) × R
    7.23000000000251e-05 × 6371000     		dr = 460.62330000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78386418--0.78376831) × cos(-0.71639163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.754180133470919 × 6371000     		do = 460.644001900995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78386418--0.78376831) × cos(-0.71646393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.754132654432906 × 6371000     		du = 460.615002285245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71639163)-sin(-0.71646393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754180133470919-0.754132654432906)×R²
    abs(-0.78376831--0.78386418)×4.74790380134982e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74790380134982e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74790380134982e-05×40589641000000     		ar = 212176.681423805m²