Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24592 / 8208
↖ ↑ ↗
← N 66.443106°
E 90.175781°		 ← 488.24 m → N 66.443106°
E 90.186768°		 →
↑
488.27 m
↓
↑
488.27 m
↓
N 66.438715°
E 90.175781°		 ← 488.33 m →
238 415 m²		 N 66.438715°
E 90.186768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750503540039062 y=0.250503540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750503540039062 × 215)
    floor (0.750503540039062 × 32768)
    floor (24592.5)     		tx = 24592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250503540039062 × 215)
    floor (0.250503540039062 × 32768)
    floor (8208.5)     		ty = 8208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24592 / 8208 ti = "15/24592/8208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24592/8208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24592 ÷ 215
    24592 ÷ 32768     		x = 0.75048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8208 ÷ 215
    8208 ÷ 32768     		y = 0.25048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75048828125 × 2 - 1) × π
    0.5009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57386429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25048828125 × 2 - 1) × π
    0.4990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56772836517432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57386429} λ = 1.57386429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56772836517432))-π/2
    2×atan(4.79574163689073)-π/2
    2×1.36522365029887-π/2
    2.73044730059773-1.57079632675     		φ = 1.15965097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57386429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15965097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.443106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24592 KachelY 8208 1.57386429 1.15965097 90.175781 66.443106
    Oben rechts KachelX + 1 24593 KachelY 8208 1.57405604 1.15965097 90.186768 66.443106
    Unten links KachelX 24592 KachelY + 1 8209 1.57386429 1.15957433 90.175781 66.438715
    Unten rechts KachelX + 1 24593 KachelY + 1 8209 1.57405604 1.15957433 90.186768 66.438715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15965097-1.15957433) × R
    7.66399999998502e-05 × 6371000     		dl = 488.273439999045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15965097-1.15957433) × R
    7.66399999998502e-05 × 6371000     		dr = 488.273439999045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57386429-1.57405604) × cos(1.15965097) × R
    0.000191750000000157 × 0.399659496864673 × 6371000     		do = 488.239728005536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57386429-1.57405604) × cos(1.15957433) × R
    0.000191750000000157 × 0.399729748794646 × 6371000     		du = 488.32555052058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15965097)-sin(1.15957433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399659496864673-0.399729748794646)×R²
    abs(1.57405604-1.57386429)×7.02519299735083e-05×R²
    0.000191750000000157×7.02519299735083e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.02519299735083e-05×40589641000000     		ar = 238415.44408173m²