Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24594 / 40978
↖ ↑ ↗
← S 41.054502°
W 44.901123°		 ← 460.59 m → S 41.054502°
W 44.895630°		 →
↑
460.62 m
↓
↑
460.62 m
↓
S 41.058644°
W 44.901123°		 ← 460.56 m →
212 150 m²		 S 41.058644°
W 44.895630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375282287597656 y=0.625282287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375282287597656 × 216)
    floor (0.375282287597656 × 65536)
    floor (24594.5)     		tx = 24594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625282287597656 × 216)
    floor (0.625282287597656 × 65536)
    floor (40978.5)     		ty = 40978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24594 / 40978 ti = "16/24594/40978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24594/40978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24594 ÷ 216
    24594 ÷ 65536     		x = 0.375274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40978 ÷ 216
    40978 ÷ 65536     		y = 0.625274658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375274658203125 × 2 - 1) × π
    -0.24945068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78367243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625274658203125 × 2 - 1) × π
    -0.25054931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.787123891761322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78367243} λ = -0.78367243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.787123891761322))-π/2
    2×atan(0.455151980939782)-π/2
    2×0.427130047392983-π/2
    0.854260094785966-1.57079632675     		φ = -0.71653623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78367243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.901123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71653623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.054502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24594 KachelY 40978 -0.78367243 -0.71653623 -44.901123 -41.054502
    Oben rechts KachelX + 1 24595 KachelY 40978 -0.78357656 -0.71653623 -44.895630 -41.054502
    Unten links KachelX 24594 KachelY + 1 40979 -0.78367243 -0.71660853 -44.901123 -41.058644
    Unten rechts KachelX + 1 24595 KachelY + 1 40979 -0.78357656 -0.71660853 -44.895630 -41.058644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71653623--0.71660853) × R
    7.23000000000251e-05 × 6371000     		dl = 460.62330000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71653623--0.71660853) × R
    7.23000000000251e-05 × 6371000     		dr = 460.62330000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78367243--0.78357656) × cos(-0.71653623) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.754085171452822 × 6371000     		do = 460.586000261727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78367243--0.78357656) × cos(-0.71660853) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.754037684530916 × 6371000     		du = 460.556995830592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71653623)-sin(-0.71660853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754085171452822-0.754037684530916)×R²
    abs(-0.78357656--0.78367243)×4.74869219055929e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74869219055929e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74869219055929e-05×40589641000000     		ar = 212149.963408524m²