Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24594 / 8210
↖ ↑ ↗
← N 66.434323°
E 90.197754°		 ← 488.41 m → N 66.434323°
E 90.208740°		 →
↑
488.46 m
↓
↑
488.46 m
↓
N 66.429931°
E 90.197754°		 ← 488.50 m →
238 593 m²		 N 66.429931°
E 90.208740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750564575195312 y=0.250564575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750564575195312 × 215)
    floor (0.750564575195312 × 32768)
    floor (24594.5)     		tx = 24594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250564575195312 × 215)
    floor (0.250564575195312 × 32768)
    floor (8210.5)     		ty = 8210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24594 / 8210 ti = "15/24594/8210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24594/8210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24594 ÷ 215
    24594 ÷ 32768     		x = 0.75054931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8210 ÷ 215
    8210 ÷ 32768     		y = 0.25054931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75054931640625 × 2 - 1) × π
    0.5010986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57424778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25054931640625 × 2 - 1) × π
    0.4989013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.56734486997736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57424778} λ = 1.57424778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56734486997736))-π/2
    2×atan(4.79390284561346)-π/2
    2×1.36514700307976-π/2
    2.73029400615952-1.57079632675     		φ = 1.15949768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57424778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15949768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.434323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24594 KachelY 8210 1.57424778 1.15949768 90.197754 66.434323
    Oben rechts KachelX + 1 24595 KachelY 8210 1.57443953 1.15949768 90.208740 66.434323
    Unten links KachelX 24594 KachelY + 1 8211 1.57424778 1.15942101 90.197754 66.429931
    Unten rechts KachelX + 1 24595 KachelY + 1 8211 1.57443953 1.15942101 90.208740 66.429931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15949768-1.15942101) × R
    7.66700000001119e-05 × 6371000     		dl = 488.464570000713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15949768-1.15942101) × R
    7.66700000001119e-05 × 6371000     		dr = 488.464570000713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57424778-1.57443953) × cos(1.15949768) × R
    0.000191749999999935 × 0.399800007542755 × 6371000     		do = 488.411381364361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57424778-1.57443953) × cos(1.15942101) × R
    0.000191749999999935 × 0.399870282273386 × 6371000     		du = 488.497231733582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15949768)-sin(1.15942101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399800007542755-0.399870282273386)×R²
    abs(1.57443953-1.57424778)×7.02747306302043e-05×R²
    0.000191749999999935×7.02747306302043e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.02747306302043e-05×40589641000000     		ar = 238592.622929947m²