Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24597 / 40981
↖ ↑ ↗
← S 41.066928°
W 44.884643°		 ← 460.50 m → S 41.066928°
W 44.879150°		 →
↑
460.50 m
↓
↑
460.50 m
↓
S 41.071069°
W 44.884643°		 ← 460.47 m →
212 051 m²		 S 41.071069°
W 44.879150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375328063964844 y=0.625328063964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375328063964844 × 216)
    floor (0.375328063964844 × 65536)
    floor (24597.5)     		tx = 24597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625328063964844 × 216)
    floor (0.625328063964844 × 65536)
    floor (40981.5)     		ty = 40981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24597 / 40981 ti = "16/24597/40981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24597/40981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24597 ÷ 216
    24597 ÷ 65536     		x = 0.375320434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40981 ÷ 216
    40981 ÷ 65536     		y = 0.625320434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375320434570312 × 2 - 1) × π
    -0.249359130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78338481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625320434570312 × 2 - 1) × π
    -0.250640869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.787411513159042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78338481} λ = -0.78338481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.787411513159042))-π/2
    2×atan(0.455021088315511)-π/2
    2×0.427021612120714-π/2
    0.854043224241428-1.57079632675     		φ = -0.71675310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78338481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.884643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71675310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.066928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24597 KachelY 40981 -0.78338481 -0.71675310 -44.884643 -41.066928
    Oben rechts KachelX + 1 24598 KachelY 40981 -0.78328894 -0.71675310 -44.879150 -41.066928
    Unten links KachelX 24597 KachelY + 1 40982 -0.78338481 -0.71682538 -44.884643 -41.071069
    Unten rechts KachelX + 1 24598 KachelY + 1 40982 -0.78328894 -0.71682538 -44.879150 -41.071069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71675310--0.71682538) × R
    7.22799999999246e-05 × 6371000     		dl = 460.49587999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71675310--0.71682538) × R
    7.22799999999246e-05 × 6371000     		dr = 460.49587999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78338481--0.78328894) × cos(-0.71675310) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.753942718570838 × 6371000     		do = 460.498991783609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78338481--0.78328894) × cos(-0.71682538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.753895232966485 × 6371000     		du = 460.46998815722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71675310)-sin(-0.71682538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753942718570838-0.753895232966485)×R²
    abs(-0.78328894--0.78338481)×4.74856043530814e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74856043530814e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74856043530814e-05×40589641000000     		ar = 212051.210527243m²