Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24600 / 41016
↖ ↑ ↗
← S 41.211721°
W 44.868164°		 ← 459.48 m → S 41.211721°
W 44.862671°		 →
↑
459.48 m
↓
↑
459.48 m
↓
S 41.215854°
W 44.868164°		 ← 459.45 m →
211 115 m²		 S 41.215854°
W 44.862671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375373840332031 y=0.625862121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375373840332031 × 216)
    floor (0.375373840332031 × 65536)
    floor (24600.5)     		tx = 24600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625862121582031 × 216)
    floor (0.625862121582031 × 65536)
    floor (41016.5)     		ty = 41016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24600 / 41016 ti = "16/24600/41016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24600/41016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24600 ÷ 216
    24600 ÷ 65536     		x = 0.3753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41016 ÷ 216
    41016 ÷ 65536     		y = 0.6258544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78309719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6258544921875 × 2 - 1) × π
    -0.251708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.790767096132446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78309719} λ = -0.78309719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790767096132446))-π/2
    2×atan(0.453496786190443)-π/2
    2×0.425758048018934-π/2
    0.851516096037868-1.57079632675     		φ = -0.71928023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78309719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.868164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71928023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.211721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24600 KachelY 41016 -0.78309719 -0.71928023 -44.868164 -41.211721
    Oben rechts KachelX + 1 24601 KachelY 41016 -0.78300132 -0.71928023 -44.862671 -41.211721
    Unten links KachelX 24600 KachelY + 1 41017 -0.78309719 -0.71935235 -44.868164 -41.215854
    Unten rechts KachelX + 1 24601 KachelY + 1 41017 -0.78300132 -0.71935235 -44.862671 -41.215854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71928023--0.71935235) × R
    7.21200000000088e-05 × 6371000     		dl = 459.476520000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71928023--0.71935235) × R
    7.21200000000088e-05 × 6371000     		dr = 459.476520000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78309719--0.78300132) × cos(-0.71928023) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.752280139661703 × 6371000     		do = 459.48350891925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78309719--0.78300132) × cos(-0.71935235) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.752232621921195 × 6371000     		du = 459.45448566449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71928023)-sin(-0.71935235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752280139661703-0.752232621921195)×R²
    abs(-0.78300132--0.78309719)×4.75177405073746e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75177405073746e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75177405073746e-05×40589641000000     		ar = 211115.216015107m²