Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24600 / 57368
↖ ↑ ↗
← S 79.196075°
W 44.868164°		 ← 114.49 m → S 79.196075°
W 44.862671°		 →
↑
114.49 m
↓
↑
114.49 m
↓
S 79.197104°
W 44.868164°		 ← 114.48 m →
13 107 m²		 S 79.197104°
W 44.862671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375373840332031 y=0.875373840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375373840332031 × 216)
    floor (0.375373840332031 × 65536)
    floor (24600.5)     		tx = 24600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875373840332031 × 216)
    floor (0.875373840332031 × 65536)
    floor (57368.5)     		ty = 57368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24600 / 57368 ti = "16/24600/57368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24600/57368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24600 ÷ 216
    24600 ÷ 65536     		x = 0.3753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57368 ÷ 216
    57368 ÷ 65536     		y = 0.8753662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78309719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.750732421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.35849546130676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78309719} λ = -0.78309719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35849546130676))-π/2
    2×atan(0.0945623889956807)-π/2
    2×0.0942820312562123-π/2
    0.188564062512425-1.57079632675     		φ = -1.38223226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78309719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.868164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38223226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.196075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24600 KachelY 57368 -0.78309719 -1.38223226 -44.868164 -79.196075
    Oben rechts KachelX + 1 24601 KachelY 57368 -0.78300132 -1.38223226 -44.862671 -79.196075
    Unten links KachelX 24600 KachelY + 1 57369 -0.78309719 -1.38225023 -44.868164 -79.197104
    Unten rechts KachelX + 1 24601 KachelY + 1 57369 -0.78300132 -1.38225023 -44.862671 -79.197104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38223226--1.38225023) × R
    1.79699999998117e-05 × 6371000     		dl = 114.486869998801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38223226--1.38225023) × R
    1.79699999998117e-05 × 6371000     		dr = 114.486869998801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78309719--0.78300132) × cos(-1.38223226) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187448608267885 × 6371000     		do = 114.491317433542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78309719--0.78300132) × cos(-1.38225023) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187430956766448 × 6371000     		du = 114.480536112342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38223226)-sin(-1.38225023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187448608267885-0.187430956766448)×R²
    abs(-0.78300132--0.78309719)×1.76515014369827e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76515014369827e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76515014369827e-05×40589641000000     		ar = 13107.1354156844m²