Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24607 / 40993
↖ ↑ ↗
← S 41.116607°
W 44.829712°		 ← 460.20 m → S 41.116607°
W 44.824219°		 →
↑
460.18 m
↓
↑
460.18 m
↓
S 41.120746°
W 44.829712°		 ← 460.17 m →
211 766 m²		 S 41.120746°
W 44.824219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375480651855469 y=0.625511169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375480651855469 × 216)
    floor (0.375480651855469 × 65536)
    floor (24607.5)     		tx = 24607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625511169433594 × 216)
    floor (0.625511169433594 × 65536)
    floor (40993.5)     		ty = 40993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24607 / 40993 ti = "16/24607/40993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24607/40993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24607 ÷ 216
    24607 ÷ 65536     		x = 0.375473022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40993 ÷ 216
    40993 ÷ 65536     		y = 0.625503540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375473022460938 × 2 - 1) × π
    -0.249053955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78242608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625503540039062 × 2 - 1) × π
    -0.251007080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.788561998749924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78242608} λ = -0.78242608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788561998749924))-π/2
    2×atan(0.454497894131251)-π/2
    2×0.426588075913012-π/2
    0.853176151826024-1.57079632675     		φ = -0.71762017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78242608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.829712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71762017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.116607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24607 KachelY 40993 -0.78242608 -0.71762017 -44.829712 -41.116607
    Oben rechts KachelX + 1 24608 KachelY 40993 -0.78233020 -0.71762017 -44.824219 -41.116607
    Unten links KachelX 24607 KachelY + 1 40994 -0.78242608 -0.71769240 -44.829712 -41.120746
    Unten rechts KachelX + 1 24608 KachelY + 1 40994 -0.78233020 -0.71769240 -44.824219 -41.120746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71762017--0.71769240) × R
    7.22300000000065e-05 × 6371000     		dl = 460.177330000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71762017--0.71769240) × R
    7.22300000000065e-05 × 6371000     		dr = 460.177330000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78242608--0.78233020) × cos(-0.71762017) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.753372822124542 × 6371000     		do = 460.198903386784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78242608--0.78233020) × cos(-0.71769240) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.753325322170974 × 6371000     		du = 460.169887969847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71762017)-sin(-0.71769240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753372822124542-0.753325322170974)×R²
    abs(-0.78233020--0.78242608)×4.74999535677867e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.74999535677867e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.74999535677867e-05×40589641000000     		ar = 211766.42660323m²