Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24607 / 40995
↖ ↑ ↗
← S 41.124883°
W 44.829712°		 ← 460.14 m → S 41.124883°
W 44.824219°		 →
↑
460.11 m
↓
↑
460.11 m
↓
S 41.129021°
W 44.829712°		 ← 460.11 m →
211 710 m²		 S 41.129021°
W 44.824219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375480651855469 y=0.625541687011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375480651855469 × 216)
    floor (0.375480651855469 × 65536)
    floor (24607.5)     		tx = 24607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625541687011719 × 216)
    floor (0.625541687011719 × 65536)
    floor (40995.5)     		ty = 40995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24607 / 40995 ti = "16/24607/40995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24607/40995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24607 ÷ 216
    24607 ÷ 65536     		x = 0.375473022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40995 ÷ 216
    40995 ÷ 65536     		y = 0.625534057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375473022460938 × 2 - 1) × π
    -0.249053955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78242608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625534057617188 × 2 - 1) × π
    -0.251068115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.788753746348404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78242608} λ = -0.78242608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788753746348404))-π/2
    2×atan(0.454410753606297)-π/2
    2×0.426515851752415-π/2
    0.853031703504831-1.57079632675     		φ = -0.71776462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78242608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.829712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71776462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.124883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24607 KachelY 40995 -0.78242608 -0.71776462 -44.829712 -41.124883
    Oben rechts KachelX + 1 24608 KachelY 40995 -0.78233020 -0.71776462 -44.824219 -41.124883
    Unten links KachelX 24607 KachelY + 1 40996 -0.78242608 -0.71783684 -44.829712 -41.129021
    Unten rechts KachelX + 1 24608 KachelY + 1 40996 -0.78233020 -0.71783684 -44.824219 -41.129021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71776462--0.71783684) × R
    7.22200000000672e-05 × 6371000     		dl = 460.113620000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71776462--0.71783684) × R
    7.22200000000672e-05 × 6371000     		dr = 460.113620000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78242608--0.78233020) × cos(-0.71776462) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.753277824864202 × 6371000     		do = 460.14087416971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78242608--0.78233020) × cos(-0.71783684) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.753230323628538 × 6371000     		du = 460.111857969603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71776462)-sin(-0.71783684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753277824864202-0.753230323628538)×R²
    abs(-0.78233020--0.78242608)×4.75012356642157e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.75012356642157e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.75012356642157e-05×40589641000000     		ar = 211710.408041742m²