Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24609 / 40991
↖ ↑ ↗
← S 41.108330°
W 44.818726°		 ← 460.26 m → S 41.108330°
W 44.813232°		 →
↑
460.18 m
↓
↑
460.18 m
↓
S 41.112469°
W 44.818726°		 ← 460.23 m →
211 793 m²		 S 41.112469°
W 44.813232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375511169433594 y=0.625480651855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375511169433594 × 216)
    floor (0.375511169433594 × 65536)
    floor (24609.5)     		tx = 24609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625480651855469 × 216)
    floor (0.625480651855469 × 65536)
    floor (40991.5)     		ty = 40991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24609 / 40991 ti = "16/24609/40991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24609/40991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24609 ÷ 216
    24609 ÷ 65536     		x = 0.375503540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40991 ÷ 216
    40991 ÷ 65536     		y = 0.625473022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375503540039062 × 2 - 1) × π
    -0.248992919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78223433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625473022460938 × 2 - 1) × π
    -0.250946044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.788370251151444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78223433} λ = -0.78223433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788370251151444))-π/2
    2×atan(0.454585051366793)-π/2
    2×0.426660309181072-π/2
    0.853320618362144-1.57079632675     		φ = -0.71747571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78223433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.818726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71747571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.108330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24609 KachelY 40991 -0.78223433 -0.71747571 -44.818726 -41.108330
    Oben rechts KachelX + 1 24610 KachelY 40991 -0.78213845 -0.71747571 -44.813232 -41.108330
    Unten links KachelX 24609 KachelY + 1 40992 -0.78223433 -0.71754794 -44.818726 -41.112469
    Unten rechts KachelX + 1 24610 KachelY + 1 40992 -0.78213845 -0.71754794 -44.813232 -41.112469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71747571--0.71754794) × R
    7.22300000000065e-05 × 6371000     		dl = 460.177330000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71747571--0.71754794) × R
    7.22300000000065e-05 × 6371000     		dr = 460.177330000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78223433--0.78213845) × cos(-0.71747571) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.753467810240001 × 6371000     		do = 460.256927017162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78223433--0.78213845) × cos(-0.71754794) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.753420318147633 × 6371000     		du = 460.227916402251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71747571)-sin(-0.71754794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753467810240001-0.753420318147633)×R²
    abs(-0.78213845--0.78223433)×4.74920923674294e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74920923674294e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74920923674294e-05×40589641000000     		ar = 211793.12886723m²