Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24609 / 8225
↖ ↑ ↗
← N 66.368351°
E 90.362549°		 ← 489.70 m → N 66.368351°
E 90.373535°		 →
↑
489.74 m
↓
↑
489.74 m
↓
N 66.363947°
E 90.362549°		 ← 489.79 m →
239 846 m²		 N 66.363947°
E 90.373535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751022338867188 y=0.251022338867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751022338867188 × 215)
    floor (0.751022338867188 × 32768)
    floor (24609.5)     		tx = 24609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251022338867188 × 215)
    floor (0.251022338867188 × 32768)
    floor (8225.5)     		ty = 8225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24609 / 8225 ti = "15/24609/8225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24609/8225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24609 ÷ 215
    24609 ÷ 32768     		x = 0.751007080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8225 ÷ 215
    8225 ÷ 32768     		y = 0.251007080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751007080078125 × 2 - 1) × π
    0.50201416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57712400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251007080078125 × 2 - 1) × π
    0.49798583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56446865600015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57712400} λ = 1.57712400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56446865600015))-π/2
    2×atan(4.78013436528311)-π/2
    2×1.36457128946469-π/2
    2.72914257892939-1.57079632675     		φ = 1.15834625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57712400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.362549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15834625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.368351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24609 KachelY 8225 1.57712400 1.15834625 90.362549 66.368351
    Oben rechts KachelX + 1 24610 KachelY 8225 1.57731575 1.15834625 90.373535 66.368351
    Unten links KachelX 24609 KachelY + 1 8226 1.57712400 1.15826938 90.362549 66.363947
    Unten rechts KachelX + 1 24610 KachelY + 1 8226 1.57731575 1.15826938 90.373535 66.363947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15834625-1.15826938) × R
    7.68700000000067e-05 × 6371000     		dl = 489.738770000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15834625-1.15826938) × R
    7.68700000000067e-05 × 6371000     		dr = 489.738770000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57712400-1.57731575) × cos(1.15834625) × R
    0.000191749999999935 × 0.400855145781784 × 6371000     		do = 489.700379651333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57712400-1.57731575) × cos(1.15826938) × R
    0.000191749999999935 × 0.400925568390469 × 6371000     		du = 489.786410674191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15834625)-sin(1.15826938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400855145781784-0.400925568390469)×R²
    abs(1.57731575-1.57712400)×7.04226086855053e-05×R²
    0.000191749999999935×7.04226086855053e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.04226086855053e-05×40589641000000     		ar = 239846.328080792m²