Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24610 / 57378
↖ ↑ ↗
← S 79.206367°
W 44.813232°		 ← 114.38 m → S 79.206367°
W 44.807739°		 →
↑
114.42 m
↓
↑
114.42 m
↓
S 79.207396°
W 44.813232°		 ← 114.37 m →
13 088 m²		 S 79.207396°
W 44.807739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375526428222656 y=0.875526428222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375526428222656 × 216)
    floor (0.375526428222656 × 65536)
    floor (24610.5)     		tx = 24610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875526428222656 × 216)
    floor (0.875526428222656 × 65536)
    floor (57378.5)     		ty = 57378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24610 / 57378 ti = "16/24610/57378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24610/57378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24610 ÷ 216
    24610 ÷ 65536     		x = 0.375518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57378 ÷ 216
    57378 ÷ 65536     		y = 0.875518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.24896240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78213845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.75103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35945419929916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78213845} λ = -0.78213845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35945419929916))-π/2
    2×atan(0.094471771886672)-π/2
    2×0.0941922165054078-π/2
    0.188384433010816-1.57079632675     		φ = -1.38241189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78213845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.813232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38241189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.206367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24610 KachelY 57378 -0.78213845 -1.38241189 -44.813232 -79.206367
    Oben rechts KachelX + 1 24611 KachelY 57378 -0.78204258 -1.38241189 -44.807739 -79.206367
    Unten links KachelX 24610 KachelY + 1 57379 -0.78213845 -1.38242985 -44.813232 -79.207396
    Unten rechts KachelX + 1 24611 KachelY + 1 57379 -0.78204258 -1.38242985 -44.807739 -79.207396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38241189--1.38242985) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dl = 114.423160000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38241189--1.38242985) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dr = 114.423160000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78213845--0.78204258) × cos(-1.38241189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187272159292121 × 6371000     		do = 114.383544557117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78213845--0.78204258) × cos(-1.38242985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187254517009036 × 6371000     		du = 114.372768866374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38241189)-sin(-1.38242985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187272159292121-0.187254517009036)×R²
    abs(-0.78204258--0.78213845)×1.76422830845957e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76422830845957e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76422830845957e-05×40589641000000     		ar = 13087.5101263865m²