Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24612 / 24612
↖ ↑ ↗
← S 66.670387°
E 90.395508°		 ← 483.79 m → S 66.670387°
E 90.406494°		 →
↑
483.75 m
↓
↑
483.75 m
↓
S 66.674737°
E 90.395508°		 ← 483.71 m →
234 015 m²		 S 66.674737°
E 90.406494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751113891601562 y=0.751113891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751113891601562 × 215)
    floor (0.751113891601562 × 32768)
    floor (24612.5)     		tx = 24612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751113891601562 × 215)
    floor (0.751113891601562 × 32768)
    floor (24612.5)     		ty = 24612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24612 / 24612 ti = "15/24612/24612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24612/24612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24612 ÷ 215
    24612 ÷ 32768     		x = 0.7510986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24612 ÷ 215
    24612 ÷ 32768     		y = 0.7510986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7510986328125 × 2 - 1) × π
    0.502197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57769924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7510986328125 × 2 - 1) × π
    -0.502197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57769924029529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57769924} λ = 1.57769924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57769924029529))-π/2
    2×atan(0.206449542993444)-π/2
    2×0.203589282142873-π/2
    0.407178564285747-1.57079632675     		φ = -1.16361776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57769924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16361776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.670387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24612 KachelY 24612 1.57769924 -1.16361776 90.395508 -66.670387
    Oben rechts KachelX + 1 24613 KachelY 24612 1.57789099 -1.16361776 90.406494 -66.670387
    Unten links KachelX 24612 KachelY + 1 24613 1.57769924 -1.16369369 90.395508 -66.674737
    Unten rechts KachelX + 1 24613 KachelY + 1 24613 1.57789099 -1.16369369 90.406494 -66.674737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16361776--1.16369369) × R
    7.59299999999463e-05 × 6371000     		dl = 483.750029999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16361776--1.16369369) × R
    7.59299999999463e-05 × 6371000     		dr = 483.750029999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57769924-1.57789099) × cos(-1.16361776) × R
    0.000191749999999935 × 0.396020149714119 × 6371000     		do = 483.79375868148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57769924-1.57789099) × cos(-1.16369369) × R
    0.000191749999999935 × 0.395950426471151 × 6371000     		du = 483.708582031233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16361776)-sin(-1.16369369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396020149714119-0.395950426471151)×R²
    abs(1.57789099-1.57769924)×6.97232429682226e-05×R²
    0.000191749999999935×6.97232429682226e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.97232429682226e-05×40589641000000     		ar = 234014.643284669m²