Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24612 / 40932
↖ ↑ ↗
← S 40.863679°
W 44.802246°		 ← 461.97 m → S 40.863679°
W 44.796753°		 →
↑
461.96 m
↓
↑
461.96 m
↓
S 40.867834°
W 44.802246°		 ← 461.94 m →
213 404 m²		 S 40.867834°
W 44.796753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375556945800781 y=0.624580383300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375556945800781 × 216)
    floor (0.375556945800781 × 65536)
    floor (24612.5)     		tx = 24612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624580383300781 × 216)
    floor (0.624580383300781 × 65536)
    floor (40932.5)     		ty = 40932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24612 / 40932 ti = "16/24612/40932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24612/40932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24612 ÷ 216
    24612 ÷ 65536     		x = 0.37554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40932 ÷ 216
    40932 ÷ 65536     		y = 0.62457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.2489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78194671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.2491455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.782713696996277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78194671} λ = -0.78194671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782713696996277))-π/2
    2×atan(0.457163722649133)-π/2
    2×0.428795286084453-π/2
    0.857590572168905-1.57079632675     		φ = -0.71320575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78194671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.802246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71320575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.863679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24612 KachelY 40932 -0.78194671 -0.71320575 -44.802246 -40.863679
    Oben rechts KachelX + 1 24613 KachelY 40932 -0.78185083 -0.71320575 -44.796753 -40.863679
    Unten links KachelX 24612 KachelY + 1 40933 -0.78194671 -0.71327826 -44.802246 -40.867834
    Unten rechts KachelX + 1 24613 KachelY + 1 40933 -0.78185083 -0.71327826 -44.796753 -40.867834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71320575--0.71327826) × R
    7.25100000000811e-05 × 6371000     		dl = 461.961210000517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71320575--0.71327826) × R
    7.25100000000811e-05 × 6371000     		dr = 461.961210000517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78194671--0.78185083) × cos(-0.71320575) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.756268366682297 × 6371000     		do = 461.967651065296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78194671--0.78185083) × cos(-0.71327826) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.756220924190243 × 6371000     		du = 461.93867074881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71320575)-sin(-0.71327826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756268366682297-0.756220924190243)×R²
    abs(-0.78185083--0.78194671)×4.74424920536842e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.74424920536842e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.74424920536842e-05×40589641000000     		ar = 213404.441269582m²