Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24612 / 41004
↖ ↑ ↗
← S 41.162114°
W 44.802246°		 ← 459.88 m → S 41.162114°
W 44.796753°		 →
↑
459.80 m
↓
↑
459.80 m
↓
S 41.166249°
W 44.802246°		 ← 459.85 m →
211 444 m²		 S 41.166249°
W 44.796753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375556945800781 y=0.625679016113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375556945800781 × 216)
    floor (0.375556945800781 × 65536)
    floor (24612.5)     		tx = 24612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625679016113281 × 216)
    floor (0.625679016113281 × 65536)
    floor (41004.5)     		ty = 41004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24612 / 41004 ti = "16/24612/41004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24612/41004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24612 ÷ 216
    24612 ÷ 65536     		x = 0.37554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41004 ÷ 216
    41004 ÷ 65536     		y = 0.62567138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.2489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78194671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.2513427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.789616610541565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78194671} λ = -0.78194671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.789616610541565))-π/2
    2×atan(0.454018827951646)-π/2
    2×0.426190955744179-π/2
    0.852381911488358-1.57079632675     		φ = -0.71841442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78194671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.802246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71841442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.162114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24612 KachelY 41004 -0.78194671 -0.71841442 -44.802246 -41.162114
    Oben rechts KachelX + 1 24613 KachelY 41004 -0.78185083 -0.71841442 -44.796753 -41.162114
    Unten links KachelX 24612 KachelY + 1 41005 -0.78194671 -0.71848659 -44.802246 -41.166249
    Unten rechts KachelX + 1 24613 KachelY + 1 41005 -0.78185083 -0.71848659 -44.796753 -41.166249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71841442--0.71848659) × R
    7.2170000000038e-05 × 6371000     		dl = 459.795070000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71841442--0.71848659) × R
    7.2170000000038e-05 × 6371000     		dr = 459.795070000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78194671--0.78185083) × cos(-0.71841442) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.752850290807364 × 6371000     		do = 459.879714358339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78194671--0.78185083) × cos(-0.71848659) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.752802787144912 × 6371000     		du = 459.850696675825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71841442)-sin(-0.71848659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752850290807364-0.752802787144912)×R²
    abs(-0.78185083--0.78194671)×4.75036624519865e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.75036624519865e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.75036624519865e-05×40589641000000     		ar = 211443.754453483m²