Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24616 / 41000
↖ ↑ ↗
← S 41.145569°
W 44.780273°		 ← 459.95 m → S 41.145569°
W 44.774780°		 →
↑
459.99 m
↓
↑
459.99 m
↓
S 41.149706°
W 44.780273°		 ← 459.92 m →
211 563 m²		 S 41.149706°
W 44.774780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375617980957031 y=0.625617980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375617980957031 × 216)
    floor (0.375617980957031 × 65536)
    floor (24616.5)     		tx = 24616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625617980957031 × 216)
    floor (0.625617980957031 × 65536)
    floor (41000.5)     		ty = 41000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24616 / 41000 ti = "16/24616/41000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24616/41000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24616 ÷ 216
    24616 ÷ 65536     		x = 0.3756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41000 ÷ 216
    41000 ÷ 65536     		y = 0.6256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78156321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.789233115344604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78156321} λ = -0.78156321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.789233115344604))-π/2
    2×atan(0.454192975381713)-π/2
    2×0.426335331198425-π/2
    0.85267066239685-1.57079632675     		φ = -0.71812566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78156321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.780273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71812566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.145569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24616 KachelY 41000 -0.78156321 -0.71812566 -44.780273 -41.145569
    Oben rechts KachelX + 1 24617 KachelY 41000 -0.78146734 -0.71812566 -44.774780 -41.145569
    Unten links KachelX 24616 KachelY + 1 41001 -0.78156321 -0.71819786 -44.780273 -41.149706
    Unten rechts KachelX + 1 24617 KachelY + 1 41001 -0.78146734 -0.71819786 -44.774780 -41.149706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71812566--0.71819786) × R
    7.21999999999667e-05 × 6371000     		dl = 459.986199999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71812566--0.71819786) × R
    7.21999999999667e-05 × 6371000     		dr = 459.986199999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78156321--0.78146734) × cos(-0.71812566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.753040318880375 × 6371000     		do = 459.947817089023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78156321--0.78146734) × cos(-0.71819786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.752992811167803 × 6371000     		du = 459.918799959204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71812566)-sin(-0.71819786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753040318880375-0.752992811167803)×R²
    abs(-0.78146734--0.78156321)×4.75077125721146e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75077125721146e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75077125721146e-05×40589641000000     		ar = 211562.974933142m²