Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24616 / 8232
↖ ↑ ↗
← N 66.337505°
E 90.439453°		 ← 490.30 m → N 66.337505°
E 90.450440°		 →
↑
490.31 m
↓
↑
490.31 m
↓
N 66.333096°
E 90.439453°		 ← 490.39 m →
240 423 m²		 N 66.333096°
E 90.450440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751235961914062 y=0.251235961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751235961914062 × 215)
    floor (0.751235961914062 × 32768)
    floor (24616.5)     		tx = 24616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251235961914062 × 215)
    floor (0.251235961914062 × 32768)
    floor (8232.5)     		ty = 8232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24616 / 8232 ti = "15/24616/8232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24616/8232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24616 ÷ 215
    24616 ÷ 32768     		x = 0.751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8232 ÷ 215
    8232 ÷ 32768     		y = 0.251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751220703125 × 2 - 1) × π
    0.50244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57846623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251220703125 × 2 - 1) × π
    0.49755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56312642281079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57846623} λ = 1.57846623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56312642281079))-π/2
    2×atan(4.77372261428353)-π/2
    2×1.36430210346681-π/2
    2.72860420693362-1.57079632675     		φ = 1.15780788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57846623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15780788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.337505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24616 KachelY 8232 1.57846623 1.15780788 90.439453 66.337505
    Oben rechts KachelX + 1 24617 KachelY 8232 1.57865798 1.15780788 90.450440 66.337505
    Unten links KachelX 24616 KachelY + 1 8233 1.57846623 1.15773092 90.439453 66.333096
    Unten rechts KachelX + 1 24617 KachelY + 1 8233 1.57865798 1.15773092 90.450440 66.333096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15780788-1.15773092) × R
    7.69599999999038e-05 × 6371000     		dl = 490.312159999387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15780788-1.15773092) × R
    7.69599999999038e-05 × 6371000     		dr = 490.312159999387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57846623-1.57865798) × cos(1.15780788) × R
    0.000191749999999935 × 0.40134831073675 × 6371000     		do = 490.302849317044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57846623-1.57865798) × cos(1.15773092) × R
    0.000191749999999935 × 0.401418799175099 × 6371000     		du = 490.388960760003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15780788)-sin(1.15773092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40134831073675-0.401418799175099)×R²
    abs(1.57865798-1.57846623)×7.04884383498361e-05×R²
    0.000191749999999935×7.04884383498361e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.04884383498361e-05×40589641000000     		ar = 240422.559964397m²