Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24620 / 40988
↖ ↑ ↗
← S 41.095912°
W 44.758301°		 ← 460.34 m → S 41.095912°
W 44.752807°		 →
↑
460.30 m
↓
↑
460.30 m
↓
S 41.100051°
W 44.758301°		 ← 460.31 m →
211 892 m²		 S 41.100051°
W 44.752807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375679016113281 y=0.625434875488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375679016113281 × 216)
    floor (0.375679016113281 × 65536)
    floor (24620.5)     		tx = 24620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625434875488281 × 216)
    floor (0.625434875488281 × 65536)
    floor (40988.5)     		ty = 40988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24620 / 40988 ti = "16/24620/40988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24620/40988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24620 ÷ 216
    24620 ÷ 65536     		x = 0.37567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40988 ÷ 216
    40988 ÷ 65536     		y = 0.62542724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.2486572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78117972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62542724609375 × 2 - 1) × π
    -0.2508544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.788082629753723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78117972} λ = -0.78117972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788082629753723))-π/2
    2×atan(0.45471581855947)-π/2
    2×0.426768676158869-π/2
    0.853537352317737-1.57079632675     		φ = -0.71725897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78117972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.758301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71725897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.095912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24620 KachelY 40988 -0.78117972 -0.71725897 -44.758301 -41.095912
    Oben rechts KachelX + 1 24621 KachelY 40988 -0.78108384 -0.71725897 -44.752807 -41.095912
    Unten links KachelX 24620 KachelY + 1 40989 -0.78117972 -0.71733122 -44.758301 -41.100051
    Unten rechts KachelX + 1 24621 KachelY + 1 40989 -0.78108384 -0.71733122 -44.752807 -41.100051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71725897--0.71733122) × R
    7.22499999999959e-05 × 6371000     		dl = 460.304749999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71725897--0.71733122) × R
    7.22499999999959e-05 × 6371000     		dr = 460.304749999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78117972--0.78108384) × cos(-0.71725897) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.753610295796356 × 6371000     		do = 460.343964530673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78117972--0.78108384) × cos(-0.71733122) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.75356280235285 × 6371000     		du = 460.314953090417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71725897)-sin(-0.71733122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753610295796356-0.75356280235285)×R²
    abs(-0.78108384--0.78117972)×4.74934435054086e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.74934435054086e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.74934435054086e-05×40589641000000     		ar = 211891.836547562m²