Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24624 / 57392
↖ ↑ ↗
← S 79.220760°
W 44.736328°		 ← 114.23 m → S 79.220760°
W 44.730835°		 →
↑
114.23 m
↓
↑
114.23 m
↓
S 79.221787°
W 44.736328°		 ← 114.22 m →
13 048 m²		 S 79.221787°
W 44.730835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375740051269531 y=0.875740051269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375740051269531 × 216)
    floor (0.375740051269531 × 65536)
    floor (24624.5)     		tx = 24624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875740051269531 × 216)
    floor (0.875740051269531 × 65536)
    floor (57392.5)     		ty = 57392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24624 / 57392 ti = "16/24624/57392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24624/57392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24624 ÷ 216
    24624 ÷ 65536     		x = 0.375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57392 ÷ 216
    57392 ÷ 65536     		y = 0.875732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78079622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.75146484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36079643248853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78079622} λ = -0.78079622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36079643248853))-π/2
    2×atan(0.0943450538006228)-π/2
    2×0.0940666178736466-π/2
    0.188133235747293-1.57079632675     		φ = -1.38266309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78079622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38266309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.220760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24624 KachelY 57392 -0.78079622 -1.38266309 -44.736328 -79.220760
    Oben rechts KachelX + 1 24625 KachelY 57392 -0.78070035 -1.38266309 -44.730835 -79.220760
    Unten links KachelX 24624 KachelY + 1 57393 -0.78079622 -1.38268102 -44.736328 -79.221787
    Unten rechts KachelX + 1 24625 KachelY + 1 57393 -0.78070035 -1.38268102 -44.730835 -79.221787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38266309--1.38268102) × R
    1.79299999998328e-05 × 6371000     		dl = 114.232029998935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38266309--1.38268102) × R
    1.79299999998328e-05 × 6371000     		dr = 114.232029998935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78079622--0.78070035) × cos(-1.38266309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187025397599732 × 6371000     		do = 114.232825533301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78079622--0.78070035) × cos(-1.38268102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187007783943109 × 6371000     		du = 114.222067327251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38266309)-sin(-1.38268102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187025397599732-0.187007783943109)×R²
    abs(-0.78070035--0.78079622)×1.76136566229501e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76136566229501e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76136566229501e-05×40589641000000     		ar = 13048.4330876289m²