Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24639 / 24641
↖ ↑ ↗
← S 66.796239°
E 90.692139°		 ← 481.30 m → S 66.796239°
E 90.703125°		 →
↑
481.27 m
↓
↑
481.27 m
↓
S 66.800567°
E 90.692139°		 ← 481.22 m →
231 614 m²		 S 66.800567°
E 90.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751937866210938 y=0.751998901367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751937866210938 × 215)
    floor (0.751937866210938 × 32768)
    floor (24639.5)     		tx = 24639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751998901367188 × 215)
    floor (0.751998901367188 × 32768)
    floor (24641.5)     		ty = 24641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24639 / 24641 ti = "15/24639/24641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24639/24641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24639 ÷ 215
    24639 ÷ 32768     		x = 0.751922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24641 ÷ 215
    24641 ÷ 32768     		y = 0.751983642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751922607421875 × 2 - 1) × π
    0.50384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58287643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751983642578125 × 2 - 1) × π
    -0.50396728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58325992065121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58287643} λ = 1.58287643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58325992065121))-π/2
    2×atan(0.205304728997493)-π/2
    2×0.202491018582328-π/2
    0.404982037164656-1.57079632675     		φ = -1.16581429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58287643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.692139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16581429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.796239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24639 KachelY 24641 1.58287643 -1.16581429 90.692139 -66.796239
    Oben rechts KachelX + 1 24640 KachelY 24641 1.58306817 -1.16581429 90.703125 -66.796239
    Unten links KachelX 24639 KachelY + 1 24642 1.58287643 -1.16588983 90.692139 -66.800567
    Unten rechts KachelX + 1 24640 KachelY + 1 24642 1.58306817 -1.16588983 90.703125 -66.800567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16581429--1.16588983) × R
    7.55400000000961e-05 × 6371000     		dl = 481.265340000612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16581429--1.16588983) × R
    7.55400000000961e-05 × 6371000     		dr = 481.265340000612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58287643-1.58306817) × cos(-1.16581429) × R
    0.000191739999999996 × 0.39400225028234 × 6371000     		do = 481.303511649854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58287643-1.58306817) × cos(-1.16588983) × R
    0.000191739999999996 × 0.393932819628529 × 6371000     		du = 481.218696861433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16581429)-sin(-1.16588983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39400225028234-0.393932819628529)×R²
    abs(1.58306817-1.58287643)×6.94306538106537e-05×R²
    0.000191739999999996×6.94306538106537e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.94306538106537e-05×40589641000000     		ar = 231614.289078693m²