Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24639 / 41025
↖ ↑ ↗
← S 41.248902°
W 44.653930°		 ← 459.22 m → S 41.248902°
W 44.648437°		 →
↑
459.22 m
↓
↑
459.22 m
↓
S 41.253032°
W 44.653930°		 ← 459.19 m →
210 878 m²		 S 41.253032°
W 44.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375968933105469 y=0.625999450683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375968933105469 × 216)
    floor (0.375968933105469 × 65536)
    floor (24639.5)     		tx = 24639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625999450683594 × 216)
    floor (0.625999450683594 × 65536)
    floor (41025.5)     		ty = 41025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24639 / 41025 ti = "16/24639/41025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24639/41025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24639 ÷ 216
    24639 ÷ 65536     		x = 0.375961303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41025 ÷ 216
    41025 ÷ 65536     		y = 0.625991821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375961303710938 × 2 - 1) × π
    -0.248077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77935811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625991821289062 × 2 - 1) × π
    -0.251983642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.791629960325607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77935811} λ = -0.77935811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791629960325607))-π/2
    2×atan(0.453105648825407)-π/2
    2×0.425433582480889-π/2
    0.850867164961778-1.57079632675     		φ = -0.71992916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77935811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.653930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71992916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.248902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24639 KachelY 41025 -0.77935811 -0.71992916 -44.653930 -41.248902
    Oben rechts KachelX + 1 24640 KachelY 41025 -0.77926224 -0.71992916 -44.648437 -41.248902
    Unten links KachelX 24639 KachelY + 1 41026 -0.77935811 -0.72000124 -44.653930 -41.253032
    Unten rechts KachelX + 1 24640 KachelY + 1 41026 -0.77926224 -0.72000124 -44.648437 -41.253032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71992916--0.72000124) × R
    7.20800000000299e-05 × 6371000     		dl = 459.22168000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71992916--0.72000124) × R
    7.20800000000299e-05 × 6371000     		dr = 459.22168000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77935811--0.77926224) × cos(-0.71992916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.751852438064623 × 6371000     		do = 459.222274014544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77935811--0.77926224) × cos(-0.72000124) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.751804911503324 × 6371000     		du = 459.193245372152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71992916)-sin(-0.72000124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751852438064623-0.751804911503324)×R²
    abs(-0.77926224--0.77935811)×4.75265612992493e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75265612992493e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75265612992493e-05×40589641000000     		ar = 210878.158966465m²